1, 다항식의 사칙연산
단항식 : 숫자와 문자, 문자와 문자 사이에 곱셈기호로서만 맺어진 식,(ex :: -3xy², 4x²y³등), 다항식 : 몇 개의 단항식의 합으로 나타내어진 식,(ex :: 4x² - 2xy + 5y³, 3개의 단항식으로 이루어진 다항식) 항 : 다항식에서 각 단항식, (ex :: 4x², -2xy, 5y³등), 계수 : 단항식에서 문자 이외의 부분,(ex :: 3x²y 에서 3, -4xy³ 에서 -4등), 동류항 : 계수는 다르지만 문자의 부분이 같은항,(ex :: -2x²y³과 5x²y³는 문자 부분이 같으므로 동류항, !!다항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항 끼리만 함) // x만을 변수로 볼 때에는 ⇒ x의 다항식,(ex :: -2x²y³는 x의 2차식, 계수는 -2y³이 된다.) y만을 변수로 볼 때에는 ⇒ y의 다항식,(ex :: -2x²y³는 y의 3차식, 계수는 -2x²이 된다.) x,y를 변수로 볼 때에는 ⇒ x,y의 다항식,(ex :: -2x²y³는 x,y의 5차식, 계수는 -2이 된다.) 다항식의 차수 : 단항식을 만들고 있는 변수가 n개 곱해져 있을 때 그 단항식을 n차 라고하고, 다항식에서는 각 항의 차수 중 가장 높은 항의 차수를 그 다항식의 차수라 한다.(ex :: 5x³은 x의 3차식, -4y²은 y의 2차식, -2x²y³는 x,y의 5차식) 동차식 : 다항식에서 각 항의 차수가 같을 때,(ex :: -2x²y³과 5xy³는 y다항식 에서는 계수가 각각 -2x²과 5x인 동차식) // 내림차순 : 한 문자에 관하여 차수가 높은 항부터 나열하는 것, ax³ + bx² + cx + d,(3차에서 0차 상수항) 오름차순 : 한 문자에 관하여 차수가 낮은 항부터 나열하는 것, d + cx + bx² + ax³,(0차에서 3차식으로 차수가 올라감), A(2x + 1), B(x + y), C(xy + 2)를 다항식이라 할 때, ㄱ.교환법칙 A + B = B + A [(2x + 1) + (x + y) = (x + y) + (2x + 1)은 결과가 3x + y + 1로 같음], AB = BA[(2x + 1)(x + y) = (x + y)(2x + 1)은 2x² + x + 2xy + y로 같음] ㄴ.결합법칙 (A + B) + C = A + (B + C), (AB)C = A(BC) ㄷ.분배법칙 A(B + C) = AB + AC [(2x + 1)(x + y + xy + 2) = (2x + 1)(x + y) + (2x + 1)(xy + 2)는 2x²y + 2x² + 3xy + 5x +y +2 로 계산 결과는 같음], (B + C)A = BA + CA // 다항식의 덧셈, 뺄셈 1. 다항식을 한 문자에 관하여 내림 차순으로 정리한 후[2x²y + 2x² + 3xy + 5x + y +2 을 x에 대하여 정리하면 2(y+1)x² + (3y + 5)x + y + 2 로 y는 상수(숫자) 취급] , 2. 동류항 끼리 만 더 하고 뺀다.[(4x² + xy - y²) - (x² - 2xy + 3y²)에서 x² 끼리 계산하니 3x², xy 끼리 계산하니 3xy, y² 끼리 계산하니 -4y²이 되어 계산 결과는 3x² + 3xy - 4y²], // 지수법칙 : r, n을 양의 정수라 할 때, 1. aʳ × aⁿ = a⁽ʳ ⁺ ⁿ⁾ [a³ × a⁴ = a⁽³ ⁺ ⁴⁾ = a⁷, a 3번 곱하고 또 a를 4 번 곱하면 총 7번 곱함], 2. aʳ ÷ aⁿ = aʳ / aⁿ = {a⁽ʳ ⁻ ⁿ⁾ (r > n일 때)[r = 4, n = 2,a를 4 번 곱한 것을 a를 2 번 곱한 것으로 나누면 a는 2번 곱한 것만 남는다] , 1 (r = n일 때)[r = 2, n = 2,a를 2 번 곱한 것을 a를 2 번 곱한 것으로 나누면 1, 즉 a⁰ = 1], 1 / a⁽ⁿ ⁻ ʳ⁾ (n > r일 때)[r = 2, n = 4,a를 2 번 곱한 것을 a를 4 번 곱한 것으로 나누면 a는 2번 곱한 것만 분모에 남는다], 3. (aʳ)ⁿ = aʳⁿ[r = 4, n = 2,a를 4 번 곱한 것 전체를 2 번 곱하면 a를 8번 곱한 것과 같음], 4. (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, 5. (b / a)ⁿ = bⁿ / aⁿ[n = 2, 분자 b도 2번 곱하고, 분모 a도 2 번 곱함] // 나눗셈의 관계식 : 다항식 A를 다항식 B로 나눌 때의 몫을 Q, 나머지를 R이라 하면 A = BQ + R(단, R은 B보다 차수가 낮다)이 성립한다. 특히, R = 0일 때 A는 B로 나누어 떨어진다고 한다.[6x² + 8X +5 = (x + 1)(6x + 2) + 3 에서 나머지 3은 0차, 나누는 x + 1 은 1차식] // 곱셈과 나눗셈만의 연산에서는 앞에서부터 순서적으로 계산 해야한다. a ÷ b × c = (a ÷ b) × c ≠ a ÷ (b × c)[결합법칙 성립 안됨] // 곱셈공식 : 1. (a + b)² [(a + b) × (a + b)분배 법칙으로 계산 한 결과] = a² + 2ab + b², (a - b)² = a² - 2ab + b², 2. (a + b)(a - b) = a² - b², 3. (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab, 4. (ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd, 5. (x + a)(x + b)(x + c) = x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x + abc, 6. (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca, 7. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³, 8. (a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³, (a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³, 9. (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = a³ + b³ + c³ - 3abc, 10, (a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = a⁴ + a²b² + b⁴ 변형식 a² + b² = (a + b)² - 2ab, a² + b² = (a - b)² + 2ab, a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) // 조립제법 :: ax³ + bx² + cx + d 를 x - e 로 나눌 때, ax³ + bx² + cx + d = (a₁x² + b₁x + c₁)(x - e) + d₁ 에서a₁ = a, b₁ = b + a₁e, c₁ = c + b₁e, d₁ = d + c₁e 로 됨
2, 항등식과 나머지정리
항등식 : 식 중의 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식 1, 모든 x에 대하여 성립하는 등식, 2, x가 어떤 값을 갖더라도 성립하는 등식, 3, 임의의 x에 대하여 성립하는 등식, 4, x의 값에 관계없이 항상 성립하는 등식, // 방정식 : 특수한 값에 대해서만 성립하는 등식 // 항등식의 성질 : x에 관하여 1. ax + b = 0이 항등식 ⇔ a = 0, b = 0,[a = 0, b = 0,이 되어야만 x 가 -15든 100이든 0 이 된다.] 2. ax + b = a'x + b'가 항등식 ⇔ a = a', b = b', 3. ax² + bx + c = 0이 항등식 ⇔ a = 0, b = 0, c = 0, 4. ax² + bx + c = a'x² + b'x + c'가 항등식 ⇔ a = a', b = b', c = c', ax + by + c = 0이 x, y에 대한 항등식이면 a = b = c = 0이다. // 미정계수의 결정(항등식의 성질을 이용하여 주어진 등식에서 정해져 있지 않은 계수를 정하는 방법) ⇒ 계수비교법(항등식의 양변의 동류항의 계수를 비교하여 미정계수를 정하는 방법), 수치대입법(항등식의 문자에 적당한 수를 대입하여 미정계수를 정하는 방법) 임의의 x에 대하여...하면 ⇒ Ax + B의 꼴로 정리, 임의의 x, y에 대하여...하면 ⇒ Ax + By + C의 꼴로 정리, // 다항식의 나눗셈과 항등식 : x의 다항식 A를 x의 다항식 B로 나눈 몫을 Q, 나머지를 R이라하면 A = BQ + R (단,B의 차수 > R의 차수)인 관계가 성립하고, 이 때 A = BQ + R은 x에 관한 항등식이다. // 삼차식으로 나눈 나머지는 ⇒ ax² + bx + c, 이차식으로 나눈 나머지는 ⇒ ax + b, 나머지정리 : 1. x의 다항식 f(x)를 x의 일차식 x - α로 나누었을 때의 나머지는 f(α)와 같다. 2. 일반적으로 x의 다항식 f(x)를 x의 일차식 ax + b로 나누었을 때의 나머지는 f(-b/a)와 같다. 다항식 f(x)가 (x - α)(x - β)로 나누어 떨어지면(즉, 나머지가 0이면) f(x)는 x-α 및 x-β 로 나누어 떨어진다. // 다항식 A를 다항식 B로 나눈 나머지 R은 : 1. B가 일차식일 때 ⇒ 나머지정리 이용, 2. B가 이차식 이상일 때 ⇒ A = BQ + R을 이용 // 인수정리 : x의 다항식 f(x)에 대하여 1. f(α) = 0 ⇔ f(x)는 x - α로 나누어 떨어진다. 2. f(α) = 0 ⇔ f(x) = (x - α)Q(x)
3, 인수분해
인수분해 :: 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것(인수를 뽑아 낸다), 이 때 곱을 이루는 각각의 다항식을 인수라고 한다. 인수분해 계수는 유리수 범위로 한정 함. 인수분해공식 : 1. ma - mb + mc = m(a - b + c), 2.a² + 2ab + b² = (a + b)², a² - 2ab + b² = (a - b)², 3. a² - b² = (a + b)(a - b), 4. x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b), 5. acx² + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d), 6. a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²), a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²), 7. a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³, a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³, 8. a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)², 9. a⁴ + a²b² + b⁴ = (a² + ab + b²)(a² - ab + b²), 10. a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) // 응용 인수분해 [복잡한 식의 인수분해] : 1. 공통인수를 묶어낼 수 있는가 생각, 2. 공통부분을 X로 치환한다. 3. 공통부분이 없을 때에는 공통부분이 나오도록 더하거나 빼서 공통부분을 만들어 X로 치환한다. 4. 복이차식을 인수분해할 때에는 x² = X로 치환. 5. 더하고 빼거나 쪼개어서 A² - B²의 꼴로 변형함. 6. 여러 문자를 포함한 식의 인수분해는 차수가 낮은 문자에 관하여 정리해 본다. 7. 동차식일 때에는 어느 한 문자에 관하여 정리해 본다. 계수가 모두 정수인 다항식 f(x)에서 f(α) = 0을 만족시키는 α의 값은 ±(f(x)의 상수항의 약수)/(f(x)의 최고차항의 계수의 약수) 중에서 찾을 수 있음. 인수정리를 이용한 다항식의 인수분해 :: f(x) = (x - α)Q(x)
4, 복소수
1. 허수단위 i : 제곱하면 -1이 되는 새로운 수 하나를 생각하여 이것을 문자 i로 나타내기로 한다. 곧, i² = -1로 정의한다. 이 때 i를 허수단위라 한다. // 2. 허수와 복소수 : a, b를 실수라 할 때 a + bi꼴의 수를 복소수라 하고, a를 실수부, b를 허수부라 한다. 또, b ≠ 0인 복소수 a + bi를 허수라 하며, a = 0, b ≠ 0인 복소수 bi를 순허수라 한다. 순허수의 제곱은 음수이다. (순허수)² < 0 , 자연수⊂정수⊂유리수⊂실수⊂복소수, 무리수⊂실수⊂복소수 // 복소수 z = a + bi의 켤레복소수 ž = a - bi // 복소수의 상등 : 1. a, b, c, d가 실수일 때 a + bi = c + di ⇔ a = c, b = d, 2. a,b가 실수일 때 a + bi = 0 ⇔ a = 0, b = 0, // 복소수의 사칙연산과 성질, 1. 복소수의 사칙연산 a, b, c, d가 실수일 때, 덧셈 : (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, 뺄셈 : (a - bi) + (c - di) = (a - c) + (b - d)i, 곱셈 : (a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i,나눗셈 : (a + bi) ÷ (c + di) = (ac + bd)/(c² + d²) - (ad - bc)/(c² + d²)i, // 2. 복소수의 연산과 성질, 가. 사칙연산 : 복소수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에 관하여 닫혀 있다. 나. 연산의 기본법칙 : α, β, γ가 복소수이면, 교환법칙 α + β = β + α, αβ = βα, 결합법칙 (α + β) + γ = α + (β + γ), (αβ)γ = α(βγ), 분배법칙 α(β + γ) = αβ + αγ // 3. 항등원, 역원 : 임의의 복소수 α에 대하여 덧셈에 대한 항등원은 0, 곱셈에 대한 항등원은 1, 덧셈에 대한 α의 역원은 -α, 곱셈에 대한 α(≠0)의 역원은 1 / α // 음의 실수의 제곱근 : 1. a > 0일 때 -a의 제곱근은 ±√ai이다. 2. 음의 실수에 대한 근호를 a > 0일 때, √(-a) = √ai로 정의하면 a > 0일 때 -a의 제곱근은 ±√(-a)가 된다. 3. 따라서 a의 양, 음, 0의 어느 경우에도 a의 제곱근은 ⇒ ±√a, 음수의 제곱근의 성질 1, a < 0, b < 0이면,√a√b = - √ab, 2, a > 0, b < 0이면, √a/√b = -√(a/b), // i의 거듭제곱 :: i, i², i³, i⁴, ...의 값을 차례로 구하면, i, -1, -i, 1이 반복 됨.
5, 이차방정식
이차방정식의 근 // 1, 계수가 실수인 이차방정식은 복소수 범위에서 반드시 근을 갖는다. 이때 근 중에서 실수인 것을 실근, 허수인 것을 허근 이라 한다. 2, 인수분해를 이용한 풀이 ::ax² + bx + c = 0의 좌변을 인수분해하여 a(x - α)(x - β) = 0의 꼴이 되면 이차방정식의 근은 x = α 또는x = β 3, 근의 공식을 이용한 풀이 :: 계수가 실수인 이차방정식 ax² + bx + c = 0(a ≠ 0)의 근은 x = {-b ± √(b² - 4ac)}/2a // 이차방정식의 근의 판별 : a,b,c가 실수일 때, 이차방정식 ax² + bx + c = 0에서, 판별식을 D = b² - 4ac로 놓으면 D > 0 ⇔ 서로 다른 두 실근, D = 0 ⇔ 서로 같은 두 실근(중근), D < 0 ⇔ 서로 다른 허근 이다. // 이차항의 계수가 문자로 된 문제 : 1. 문제의 조건에 '이차식'이라는 말이 있을 때에는 그 문제를 푼 답중에 이차항의 계수를 0이 되게 하는 값이 있는가를 검토하고, 있으면 이를 제외한다. 2. 문제의 조건에 '이차식'이라는 말이 없을 때에는 이차항의 계수가 0일 때와 0이 아닐 때로 나누어서 생각해야 한다. // k의 값에 관계없이란 pk + q = 0 ⇔ p = 0, q = 0 // 삼차방정식의 근의 판별 ⇒ (x - α)(x² + px + q) = 0꼴로 변형 // 판별식의 응용 : 1. 실수조건에의 응용, 방정식 f(x,y) = 0의 x, y에 실수조건이 있는 경우에 준 식을 x(또는 y)에 관하여 정리하여 이것이 x의 이차방정식이면 D ≥ 0으로부터 (y - β)² ≤ 0 ∴ y - β = 0 ∴ y = β가 유도된다. 2. 완전제곱식에의 응용, D = b² - 4ac = 0 ⇔ ax² + bx + c = a(x + b/2a)²(a ≠ 0) // x가 실수 ⇒ 근이 실수 ⇒ 실근 ⇒ D ≥ 0 (중근 포함), // 이차방정식의 근과 계수와의 관계 : 이차방정식 ax² + bx + c = 0(a ≠ 0)의 두 근을 α, β라 할 때 α, β와 계수 a, b, c사이에는 1. α + β = -b/a, 2. αβ = c/a, 3. |α - β| = √(b² - 4ac) / |a| (3은 α,β가 실수일 때 성립), 이차식의 인수분해 : 1. ax² + bx + c = 0(a ≠ 0)의 두 근을 α, β라 하면 ax² + bx + c = a(x - α)(x - β), 2. 이차방정식 ax² + bx + c를 인수분해하려면 (i)이차방정식 ax² + bx + c = 0의 두 근 α, β를 구한다. (ii)x - α, x - β를 곱하고 a배 한다. // 이차방정식의 작성 : 1. 두 수 α, β를 두 근으로 가지는 x의 이차방정식은 (x - α)(x - β) = 0 곧, x² - (α + β)x + αβ = 0, 2. α + β = p, αβ = q인 α, β는 x² - px + q = 0의 두 근이다. 이차방정식의 켤레근 :: a, b, c가 유리수 일 때, 한 근이 p + q√r 이면 다른 한근은p - q√r, a, b, c가 실수 일 때, 한 근이 p + qi 이면 다른 한근은p - qi, // 이차방정식의 실근의 부호 : 실계수 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 두 근을 α, β라 할 때, 1. 두 근이 모두 양 ⇔ D ≥ 0, α + β > 0, αβ > 0, 2. 두 근이 모두 음 ⇔ D ≥ 0, α + β < 0, αβ > 0, 3. 두 근이 다른 부호 ⇔ αβ < 0 // 음근의 절대값이 양근보다 크기위한 조건은 ⇒ α + β < 0, αβ < 0, 음근의 절대값이 양근보다 작기위한 조건은 ⇒ α + β > 0, αβ < 0, 절대값이 같고, 부호가 다르기 위한 조건은 ⇒ α + β = 0, αβ < 0, // 삼차방정식의 근과 계수와의 관계 : ax³ + bx² + cx + d = 0(a ≠ 0)의 세 근을 α, β, γ라 하면 α + β + γ = -b / a, αβ + βγ + γα = c / a, αβγ = -d / a인관계가 성립한다.
6, 이차방정식과이차함수
방정식 ax² + bx + c = 0(a ≠ 0)의 실근 α, β ⇔ 곡선 y = ax² + bx + c(a ≠ 0)가 x축과 만나는 점의 x좌표 // 이차함수의 그래프와 x축과의 교점 : y = ax² + bx + c(a ≠ 0)의 그래프는 D = b² - 4ac라 할 때, D > 0 ⇔ x축과 서로 다른 두 점에서 만난다. D = 0 ⇔ x축과 접한다. D < 0 ⇔ x축과 만나지 않는다. // ax² + bx + c의 값의 양과 음 : f(x) = ax² + bx + c(a ≠ 0)에서, 1. x의 모든 실수값에 대하여 항상 f(x) > 0 ⇔ a > 0, D < 0, x의 모든 실수값에 대하여 항상 f(x) ≥ 0 ⇔ a > 0, D ≤ 0, 2. x의 모든 실수값에 대하여 항상 f(x) < 0 ⇔ a < 0, D < 0, x의 모든 실수값에 대하여 항상 f(x) ≤ 0 ⇔ a < 0, D ≤ 0, // 함수 y = ax² + bx + c의 그래프는, x축과 공유점을 갖는다 ⇔ D ≥ 0, x축과 공유점을 갖지 않는다 ⇔ D < 0, // y = ax² + bx + c에서, x의 모든 실수값에 대하여 항상 y > 0일 조건은 ⇒ (a > 0, D < 0) or (a = 0, b = 0, c > 0), 부등식의 포함관계 ⇒ 그래프로서 해결 // 포물선과 직선의 교점 : 포물선 y = ax² + bx + c(a ≠ 0)과 직선 y = mx + n의 교점의 x좌표는 이차방정식ax² + bx + c = mx + n 곧, ax² + (b - m)x + c - n = 0의 실근과 같다. 일반적으로 함수 y = f(x), y = g(x)의 그래프의 교점의 x좌표 ⇔ 방정식 f(x) = g(x)의 실근 // 포물선과 직선의 위치관계 : 포물선과 직선의 방정식, y = ax² + bx + c(a ≠ 0) ...➀, y = mx + n...➁ 에서 y를 소거하여 공유점의 x좌표를 구하는 식을 만들면, ax² + bx + c = mx + n(a ≠ 0)곧, ax² + (b - m)x + c - n = 0(a ≠ 0) ...➂이고,이 방정식의 판별식을 D라 하면, 1. D > 0 ⇔ ➂은 다른 두 실근 ⇔ ➀,➁는 두 점에서 만난다. 2. D = 0 ⇔ ➂은 중근 ⇔ ➀,➁는 접한다. 3. D < 0 ⇔ ➂은 다른 두 허근 ⇔ ➀,➁는 만나지 않는다. // y = ax²의 그래프의 성질 : 1. 원점을 꼭지점으로 하고, y축을 축으로 하는 포물선이다. 2. a > 0이면 아래로 볼록(U꼴), a < 0이면 위로 볼록하다(⋂꼴), 3. |a|의 값이 클수록 y축쪽으로 오므라진 다. // y = (x - m)² + n의 그래프 : y = (x - m)² + n의 그래프는 y = x²의 그래프를 x축 방향으로 m만큼, y축으로 n만큼 평행이동한 것이다. 따라서 y = x²의 그래프와 합동인 포물선이고, y = (x - m)² + n ⇒ 꼭지점 : (m, n), 축 : x = m, // y = ax² + bx + c(a ≠ 0)의 그래프 : 1. y = ax² + bx + c = a(x + b/2a)² - (b² - 4ac) / 4a, 2. y = ax² + bx + c는 y = ax²의 그래프와 합동인 포물선이고, 꼭지점 : (-b/2a, - (b² - 4ac)/4a), 축 : x = -b/2a, y절편 : c, // y = ax² + bx + c의 꼭지점을 구하고자 할 때에는 ⇒ y = a(x - m)² + n의 꼴로 변형한다. // 포물선의 방정식 : 1. 꼭지점 (m, n)이 주어지는 경우 ⇒ y = a(x - m)² + n을 이용, 2. 세 점이 주어지는 경우 ⇒ y = ax² + bx + c를 이용, 3. x축과의 교점이 주어지는 경우 ⇒ y = a(x - α)(x - β)를 이용 f : t → (f(t), g(t))의 치역이 나타내는 곡선은 ⇒ x = f(t), y = g(t)로 놓고 t를 소거한다. 자취 문제 ⇒ 항상 변역에 주의! // 자취 문제 해결의 기본, 1. 조건을 만족시키는 임의의 점을(x, y)라 하고, 2. 주어진 조건을 써서 x와 y의 관계식을 구한다. // y = ax³, y = a(x - m)³ + n의 그래프, 1. y =ax³의 그래프, (i)원점에 대하여 대칭이다. (ii) a > 0일 때 x가 증가하면 y도 증가한다. a < 0일 때 x가 증가하면 y는 감소한다. 2. y = a(x - m)³ + n의 그래프, y = ax³의 그래프를 x축 방향으로 m 만큼, y축 방향으로 n만큼 평행이동한 것이다. // 우함수와 기함수 : 우함수 ⇔ f(-x) = f(x) ⇔ 그래프는 y축에 대하여 대칭, 기함수 ⇔ f(-x) = -f(x) ⇔ 그래프는 원점에 대하여 대칭. // 이차함수 y = a(x - p)² + q의 최대값과 최소값은, 1, a > 0 (아래로볼록)이면 x = p(x축)에서 최소값 q를 갖고, 최대값은 없다. 2, a < 0 (위로볼록)이면, x = p(x축)에서 최대값을 갖고, 최소값은 없다. 제한된 범위에서 이차함수의 최대, 최소 α ≤ x ≤ β 일 때, 이차함수 y = a(x - p)² + q의 최대값과 최소값은, 1, 꼭지점의 x좌표 p(x축)가 α ≤ x ≤ β 에 속할 때, f(α), f(β), f(p) 중 가장 큰 값이 최대값이고, 가장 작은 값이 최소값이다. 2, 꼭지점의 x좌표 p(x축)가 α ≤ x ≤ β 에 속하지 않을 때, f(α), f(β) 중 큰 값이 최대값이고, 작은 값이 최소값이다.
7, 여러 가지방정식
방정식 : 3x + 2x = 8에서 문자 x를 변수 또는 미지수라 하고, 이와같이 x를 미지수로 가지는 방정식을 x에 관한 방정식이라 한다. // 등식의 성질 : A = B이면 1. A + m = B + m, 2. A - m = B - m, 3. A × m = B × m, 4. A ÷ m = B ÷ m,(m ≠ 0) // 일원 일차방정식의 해법 : ax = b의 해는, 1. a ≠ 0일 때, 양변을 a로 나누어서 x = b / a, 2. a = 0일 때, 이 때에는 a로(0으로)나눌 수 없으므로 b ≠ 0인 경우와 b = 0인 경우로 나누어 생각한다. 가. a = 0, b ≠ 0인 경우, 0 × x = 2에서 이 식에 맞는 x의 값은 없으므로 '불능'이라 한다. 나. a = 0, b = 0인 경우, 0 × x = 0은 이 식에 맞는 x의 값은 얼마든지 있으므로 '부정'이라 함. 이차방정식의 해법에는 인수분해에 의한 해법과 근의 공식에 의한 해법이 있다. // 인수분해에 의한 해법 : x에 관한 이차방정식이 (ax - b)(cx - d) = 0(a ≠ 0,c ≠ 0)과 같이 인수분해될 때, 이 방정식의 두 근은 x = b / a 또는 x = d / c, // 이차방정식의 근의 공식 : ax² + bx + c = 0(a ≠ 0)의 근은 x = -b ± √(b² - 4ac) / 2a, ax² + 2b'x + c = 0(a ≠ 0)의 근은 x = -b' ± √(b'² - ac) / a, // 고차방정식의 해법 : 고차방정식 을 f(x) = 0의 꼴로 정리하고 f(x)를 인수분해한 다음, A∘B∘C = 0이면 ⇒ A = 0 or B = 0 or C = 0, A∘B∘C∘D = 0이면 ⇒ A = 0 or B = 0 or C = 0 or D = 0을 이용한다. f(x)를 인수분해하는데 있어서는 인수분해의 공식, 인수정리, 치환법등 특수변형법이 이용된다. // f(α) = 0이면 ⇒ f(x) = (x - α)Q(x), 방정식의 응용문제, 미지수의 결정 ⇒ 조건을 수식화! 1, 인수분해를 이용한 삼,사차방정식의 풀이 :: f(x)를 일차식 또는 이차식으로 인수분해 하여 푼다. 2, 인수정리를 이용한삼,사차방정식의 풀이 :: f(x) = 0에서 f(α) = 0이면, f(x)는 x - α를 인수로 가지므로 조립제법을 이용하여 f(x) = (x - α)Q(x) 꼴로 인수분해 후 푼다. :: 3, 공통부분을 한 문자로 치환하여 식을 간단히 한 후 인수분해 한다, 4, x⁴ + ax² + b = 0꼴의 방정식 풀이 :: x² = X로 치환하여 X에 대한 이차방정식으로 변형한 후 인수분해한다. 삼차방정식의 근과 계수와의 관계 :: ax³ + bx² + cx + d = 0(a ≠ 0)의 세 근을 α, β, γ라 하면 α + β + γ = -b/a, αβ + βγ + γα = c/a, αβγ = -d/a인관계가 성립한다. 삼차방정식의 켤레근 성질 :: 한 근이 p + q√m이면, 다른 한 근은 p - q√m이다. 한 근이 p + qi이면 다른 한 근은 p - qi이다. x³ = 1의 한 허근을 ω라 하면 ω³ = 1, ω² + ω + 1 = 0, ω = (-1 ± √3i) / 2, ω² = 1/ω, // 연립방정식 : 두 개 이상의 미지수를 포함하고 있는 방정식의 조 // 이원 연립일차방정식의 해법 : 미지수를 소거하여 일원 일차방정식을 만든다. 소거법에는 가감법, 대입법, 등치법이 있다.연립방정식의 부정과 불능 : 연립방정식 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0의 근은 a/a' = b/b' ≠ c/c'일 때 ⇔ 평행하다 ⇔ 근이 없다(불능), a/a' = b/b' = c/c'일 때 ⇔ 일치한다 ⇔ 근이 무수히 많다(부정) // 일차식과 이차식을 연립하는 경우는 일차식에서 x 또는 y를 구하여 이차식에 대입한다. // x + y = a, xy = b인 x, y는 t² - at + b = 0의 두 근이다. // 이차식과 이차식을 연립하는 경우는 ⇒ 일차식과 이차식과의 연립방정식의 꼴로 유도 // x, y에 관한 대칭형의 경우는 ⇒ x + y = u, xy = v로 놓아서 u, v를 먼저 구한다. // 부정방정식 : 미지수의 수보다 방정식의 수가 적을 때에는 그 해는 무수히 많아서 그 근을 정할 수 없게 된다. 이와같은 방정식을 부정방정식이라 한다. 그러나 여기에 또 다른 조건 곧, '근에 대한 정수 조건', '근에 대한 실수 조건'등이 주어지면 그 근이 확정될수도 있다. // a, b가 실수일 때, a² + b² = 0 ⇔ a = 0, b = 0
8, 연립일차부등식
부등식 : 수나 식의 값의 대소 관계를 나타낸 식, 절대부등식 : 부등식 중의 문자에 어떤 실수값을 대입해도 항상 성립하는 부등식, 조건부등식 : 부등식 중의 문자에 특별한 범위의값을 대입할 때만 성립하는 부등식, 해집합 : 부등식을 만족시키는 문자의 값을 그 부등식의 해라 하고, 해 전체의 집합을 그 부등식의 해집합이라 한다. 또, 해집합을 구하는 것을 그 부등식을 푼다라고 함. 연립부등식 :: 두 개 이상의 부등식을 한 쌍으로 묶어서 나타낸 것을 연립부등식이라 하고, 일차부등식으로만 이루어진 연립부등식을 연립일차부등식이라 한다. 연립부등식의 해 :: 연립부등식에서 두 부등식의 공통인 해를 연립부등식의 해라 하고, 연립부등식의 해를 구하는 것을 연립부등식을 푼다고 한다. 연립일차부등식의 풀이 :: 1, 각각의 일차부등식을 푼다. 2, 1에서 구한 해를 하나의 수직선 위에 나타내어 공통부분을 구한다. A < B < C 꼴의 부등식은 [ A < B , B < C ]꼴로 고쳐서 푼다. 절대값 기호를 포함한 부등식의 풀이 :: 1, 절대값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 경계로 x의 값의 범위를 나눈다. 2, 각 범위에서 절대값 기호를 없앤 후 식을 정리하여 해를 구한다. 3, 2에서 구한 해를 합친 x의 범위를 구한다. 중요!! x ≥ 3 는 3포함하여 3보다 큰 수 나타냄. 반면 x > 3 은 3 포함하지 않는 3.000001정도 보다 큰 수를 나타 냄. 절대부등식 ⇒ 부등식을 증명한다. 조건부등식 ⇒ 부등식을 푼다. // 부등식의 성질 : 1. a > b ⇔ a - b > 0, a < b ⇔ a - b < 0, 2. a > b, b > c ⇒ a > c, 3. a > b ⇒ a + m > b + m, a - m > b - m, 4. a > b, m > 0 ⇒ am > bm, a / m > b / m, 5. a > b, m < 0 ⇒ am < bm, a / m < b / m, 6. a와 b가 같은 부호이면 ab > 0, b/a > 0, a/b > 0, a와 b가 다른 부호이면 ab < 0, b/a < 0, a/b < 0, 부등식의 양변을 음인 값으로 곱할 때나 나눌 때에는 ⇒ 부등호의 방향이 반대가 된다. // 일차부등식 ax > b의 해법 : 1. a > 0일 때 x > b/a, 2. a < 0일 때 x < b/a, 3. a = 0일 때 {b ≥ 0이면 해는 없다. b < 0이면 x는 모든 실수} // 공통 범위를 구할 때는 수직선을 이용하면 알기 쉽다. 문자로는 양변을 함부로 나누지 말아라. 절대값 기호가 있는 부등식을 풀 때에는 먼저, 절대값 기호를 없애고 푼다. // a > 0일 때, |x| < a ⇔ -a < x < a, |x| > a ⇔ x < -a or x > a . 부등식끼리의 사칙연산 : 1. 덧셈 a > b +) c > d = a + c > b + d, 2. 뺄셈 a > b -) c > d = a - d > b - c, 3. 곱셈 a > b ×) c > d = ac > bd, 4. 나눗셈 a > b ÷) c > d = a ÷ d > b ÷ c, // f(x) ≥ 0 ⇔ f(x) > 0 or f(x) = 0, f(x) ≤ 0 ⇔ f(x) < 0 or f(x) = 0, 연립부등식의 해 ⇒ 수직선을 이용! 집합의 포함관계는수직선으로 나타내어 조사! // 부등식의 응용문제 ⇒ 적절한 미지수 선정 ⇒ 조건을 수식화! // 응용문제 : 1. 미지수를 알맞게 정한다. 2. 주어진 조건들을 빠짐없이 따져보고 수식화한다. 3. 변수의 범위를 기억한다. // 여러 가지 부등식두 실수 또는 두 식P, Q의 대소 판정 : 1. P에서 Q를 빼어 본다. P - Q > 0 ⇔ P > Q, P - Q < 0 ⇔ P < Q, P - Q = 0 ⇔ P = Q, 2. P²에서 Q²을 빼어 본다. P ≥ 0, Q ≥ 0일 때, P² - Q² > 0 ⇔ P > Q, 3. P, Q의 비를 구해본다. P > 0, Q > 0일 때, P/Q > 1 ⇔ P > Q, P/Q < 1 ⇔ P < Q, P/Q = 1 ⇔ P = Q, // 기본적인 절대부등식 : 1. 거듭제곱, 거듭제곱근의 부등식, (가)a, b의 양,0,음에 관계없이 a > b, a³ > b³ (나)a > 0, b > 0일 때, a > b ⇔ a² >b² , a > b ⇔ √a > √b, 2. 기본적인 절대부등식, a, b, c가 실수일 때,(다) a² ± 2ab + b² ≥ 0, (라) a² + b² + c² - ab - bc - ca ≥ 0, (마) (a + b)/2 ≥ √(ab) ≥ (2ab)/(a + b) 즉, (산술평균) ≥ (기하평균) ≥ (조화평균) (a > 0, b > 0) // 부등식을 증명하는 기본적인 방법은 ⇒ 양변의 차의 부호를 조사해 보는 것이다. 답안 작성때, 등호가 성립하는 경우도 분명히 밝혀야 한다. // 슈왈쯔부등식 : (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) ≥ (ax + by + cz)² , (a² + b² + c² + d²)(x² + y² + z² + u²) ≥ (ax + by + cz + dz)² // (a + b + c)/3 ≥ ∛(abc), (a + b + c + d)/4 ≥ ∜(abcd)(단,등호는 a = b = c = d일때 성립). A,B가 실수일 때, |A|² = A² , |A|∘|B| = |AB|, |A| + |B| = |A + B|는 AB ≥ 0일 때만 성립, A,B의 양,음에 관계없이 A² ≥ B² ⇔ |A| ≥ |B|. // [x]는x를 넘지 않는 최대정수, 즉 [3] = 3 ≤ x < 4
9, 이차부등식
이차부등식의 해법 : ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0의 해법 : 1. b² - 4ac > 0일 때, α, β가 실수이고, α < β일 때, (x - α)(x - β) > 0 ⇔ x < α or x > β, (x - α)(x - β) < 0 ⇔ α < x < β, 2. b² - 4ac = 0, b² - 4ac < 0일 때, 완전제곱의 꼴로 변형하여 푼다. ax² + bx + c > 0 (a > 0)꼴이면 ⇒ 두 근의 밖의 범위(x < α or x > β), ax² + bx + c < 0 (a > 0)꼴이면 ⇒ 두 근의 사이 범위(α < x < β), 이차부등식의 작성 :: 해가 α < x < β이고 x²의 계수가 1인 이차부등식은, (x - α)(x - β) < 0이고, 해가 x < α 또는 x > β이고 x²의 계수가 1인 이차부등식은, (x - α)(x - β) > 0 ⇔ x² - (α + β)x + αβ > 0임. ax² + bx + c = 0 의 판별식을 D 라 할 때,이차부등식이 항상 성립할 조건은, 1, 모든 실수 x에 대하여 ax² + bx + c ≥ 0 ⇔ a > 0(아래로 볼록), D ≤ 0, 2,모든 실수 x에 대하여 ax² + bx + c ≤ 0 ⇔ a < 0(위로 볼록), D ≤ 0, // 연립이차부등식의 풀이 :: 1, 각 부등식을 푼다. 2, 각 부등식의 해를 하나의 수직선에 그린다. 3, 수직선에서 공통부분을 찾아 해를 구한다. 연립부등식의 해 ⇒ 수직선을 이용! 집합의 포함관계는 수직선으로 나타내어 조사! // 부등식의 응용문제 ⇒ 적절한 미지수 선정 ⇒ 조건을 수식화! // 응용문제 : 1. 미지수를 알맞게 정한다. 2. 주어진 조건들을 빠짐없이 따져보고 수식화한다. 3. 변수의 범위를 기억한다.
10, 경우의 수
사건 :: 실험이나 관찰에 의하여 나타나는 결과, 경우의 수 :: 사건이 일어날 수 있는 모든 경우의 가짓수 합의 법칙 :: 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A,B가 일어날 경우의 수를 각각 m, n이라 하면 A또는 B가 일어나는 경우의 수는 ⇒ m + n가지 // 곱의 법칙 :: 두 사건 A, B에 대하여 사건 A, 가 일어나는 경우의 수가 m 이고, 그 각각에 대하여 사건 B가 일어나는 경우의 수가 n 일 때, 두 사건 A, B가 잇달아(이고, 그리고, 동시에) 일어나는 경우의 수는 ⇒ m × n가지, 경우의 수를 구할 때에는 ⇒ 빠짐없이, 중복되지 않게, 자연수 N 이 N = aˡ × b𝆐 × cⁿ (a, b, c는 서로 다른 소수, l, m, n은 자연수), 꼴로 소인수분해될 때 ⇒ N 의 약수의 개수 = (l + 1)(m + 1)(n + 1)
11, 순열
순열의 수와 ₙPᵣ :: 서로 다른 n개의 원소에서 r (0 < r ≤ n)개를 택하여 순서 있게 일렬로 늘어 놓는 것을 n개에서 r개 택한 순열이라 한다. 또, 이 순열의 수를 ₙPᵣ로 나타내며, ₙPᵣ = n(n - 1)(n - 2) × ... × (n - r + 1)과 같이 계산한다. n의 계승, n! = n(n - 1)(n - 2) ×...× 3 × 2 × 1 // ₙPᵣ의 변형식과 0!, ₙP₀의 정의 :: 1. ₙPᵣ = n!/(n - r)!, 2. 0! = 1, 3. ₙP₀ = 1 A, B, C가 이웃하여 서는 경우의 수는 ⇒ A, B, C를 묶어 하나로 생각한다. 적어도...하면 ⇒ 여집합을 이용한다. 경우의 수는 ⇒ 사전식 배열법이 기본! X = {a₁, a₂, a₃,...,aᵣ}, Y = {b₁, b₂, b₃,...bₙ}일 때, X에서 Y로의 일대일 함수의 개수는 ⇒ ₙPᵣ(단,n ≥ r), 특히, n = r일 때, X에서 Y로의 일대일 대응의 개수는 ⇒ ₙPᵣ = n ʳ, // 같은 것을 포함한 경우의 순열 :: a,a,a,...,a,b,b,b,...b,c,d의 순열의 수 ⇒ n!/(p! × q!) (a는p개b는q개임) 원순열의 수 : 서로 다른 n개의 원소를 원형으로 배열하는 것을 원순열이라 한다. 서로 다른 n개의 원소를 원형으로 배열하는 방법의 수 ⇒ (n - 1)! 서로 다른 n개의 원소에 대하여 뒤집어 놓을 수 있는 원순열의 수 ⇒ ½(n - 1)!
12, 조 합
조합의 수와 ₙCᵣ :: 1. 조합의 수와 ₙCᵣ, 서로 다른 n개의 원소에서 순서를 생각하지 않고 r (0 < r ≤ n)개를 택할 때(따라서 r!로 나누어야 한다) , 이 r개로 이루어진 각각의 [집합]을 n개에서 r개 택한 조합이라 하고, 이 조합의 수를 ₙCᵣ로 나타낸다. 2. (i) ₙCᵣ = ₙPᵣ/r!, ₙCᵣ = n!/r!(n - r)!, (ii) ₙC₀ = 1, 동수인 것이 m조일 때에는 m!로 나눈다. 서로 다른 n개의 물건을 p개, s개, r개(단,p + s + r = n)의 3조로 나누는 방법의 수는 p, s, r이 서로 다르면 ⇒ ₙCₚ × ₙ-ₚCₛ × ᵣCᵣ, p, s, r 중 어느 두 개가 같으면 ⇒ ₙCₚ × ₙ-ₚCₛ × ᵣCᵣ × ½!, p = q = r이면 ⇒ ₙCₚ × ₙ-ₚCₛ × ᵣCᵣ × ⅓!, 적어도 라는 말이 있을 때는 여집합을 생각, 서로 다른 n 개에서 r 개를 택하는 경우의 수는 조합의 수이고, 택한 r 개를 일렬로 나열까지 하는 경우의 수는 순열의 수이다. ₙCᵣ 의 계산 :: n 개에서 r 개를 택하는 조합의 수는 n 개에서 r 개를 제외한 나머지 (n - r) 개를 택하는 조합의 수와 같다, 즉 ₙCᵣ = ₙCₙ-ᵣ, 예) ₅C₂ = ₅C₃, 파스칼 삼각형 :: ₙCᵣ = ₙ₋₁Cᵣ₋₁ + ₙ₋₁Cᵣ(인접한 두 항 사이)
13, 행렬과 그연산
행렬의 뜻 :: 여러 개의 수 또는 문자를 직사각(정사각)형 모양으로 배열하여 괄호로 묶어 나타낸 것, 이때 행(가로)렬(세로)을 이루고 있는 각각의 수나 문자를 그 행렬의 성분이라 한다. n차 정사각행렬 ⇔ (행의 개수) = (열의 개수) = n, // 행렬의 상등 :: 1. 행렬의 상등, (1행◢ a₁₁ a₁₂ 2행✪ a₂₁ a₂₂) = (1행◢ b₁₁ b₁₂ 2행✪ b₂₁ b₂₂) ⇔ a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₂₁ = b₂₁, a₂₂ = b₂₂, 2. 행렬의 상등의 성질 : A, B, C를 행렬이라 할 때, ① A = A, ② A = B이면 B = A ③ A = B, B = C이면 A = C, // 행렬의 합, 차, 실수배 :: 1. A, B가 같은 꼴의 행렬일 때, A와 B의 대응하는 성분의 합을 성분으로 하는 행렬을 A와 B의 합이라 하고, A + B로 나타낸다. A + B = (1행◢ a₁₁ + b₁₁ a₁₂ + b₁₂ 2행✪ a₂₁ + b₂₁ a₂₂ + b₂₂), 2. A, B가 같은 꼴의 행렬일 때, A의 성분에서 이에 대응하는 B의 성분을 뺀 차을 성분으로 하는 행렬을 A에서 B를 뺀 차라 하고, A - B로 나타낸다. 3. 실수 k에 대하여 행렬 A의 모든 성분을 k배한 것을 성분으로 하는 행렬을 A의 k배라 하고, kA로 나타낸다. // 행렬의 덧셈, 실수배에 대한 기본법칙 :: 1. 행렬의 덧셈에 대한 기본법칙 : m × n행렬 전체의 집합을 M이라 하고 A∈M, B∈M, C∈M이라 할 때, 다음 기본법칙이 성립한다. ① A∈M, B∈M이면 A + B∈M ② A + B = B + A ③ (A + B) + C = A + (B + C) ④ A + O = O + A = A인 O가 M에 존재한다. 이 때 O를 덧셈에 대한 항등원이라 한다. ⑤ A + X = X + A = O인 X가 M에 존재한다. 이 때 X를 덧셈에 대한 A의 역원이라 하고, -A라 쓴다. 2. 행렬의 실수배에 대한 기본법칙, A, B가 같은 꼴의 행렬이고 k, l이 실수일 때, ① k(lA) = (klA) ② (k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kB ③ 1A = A, (-1)A = -A ④ kO = O, 0A = O, 행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배는 ⇒ 수, 식의 계산과 동일 // 행렬의 곱셈 :: ① (a b)(1행◢ x 2행✪ y) = (ax + by) [(1행2열) × (2행1열) = (1행1열)] / ②(a b)(1행◢ x u 2행✪ y v) = (ax + by au + bv) [(1행2열) × (2행2열) = (1행2열)] / ③ (1행◢ a 2행✪ b)(x y) = (1행◢ ax ay 2행✪ bx by) [(2행1열) × (1행2열) = (2행2열)] / ④ (1행◢ a b 2행✪ c d)(1행◢ x 2행✪ y) = (1행◢ ax + by 2행✪ cx + dy) [(2행2열) × (2행1열) = (2행1열)] / ⑤(1행◢ a b 2행✪ c d)(1행◢ x u 2행✪ y v) = (1행◢ ax + by au + bv 2행✪ cx + dy cu + dv) [(2행2열) × (2행2열) = (2행2열)], // 행렬의 곱셈의 기본법칙 :: A, B, C가 아래의 합과 곱이 정의되는 임의의 행렬이고, k를 임의의 실수라 할 때, ① AB ≠ BA ② A(BC) = (AB)C ③ A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC ④ (kA)B = A(kB) = k(AB) // 행렬의 거듭제곱 :: A가 정사각행렬이고 m, n이 자연수일 때, ① Aⁿ은 n개의 A를 어떤 순서로든지 곱한 것을 뜻한다. ② Aⁿ = A⁽ⁿ⁻¹⁾A, A𝆐Aⁿ = A⁽𝆐 ⁺ ⁿ⁾, (A𝆐)ⁿ = A𝆐ⁿ, // 행렬의 곱셈에서의 주의 :: A, B가 같은 꼴의 정사각행렬일 때, ① (AB)ⁿ ≠ AⁿBⁿ, ② (A ± B)² ≠ A² ± 2AB + B² ③ (A + B)(A - B) ≠ A² -B² ④ (A + B)³ ≠ A³ + 3A²B + 3AB² + B³ // 단위행렬, 곱셈에 대한 항등원 :: ① 단위행렬 E는 행렬의 곱셈에 대한 항등원이다. ② E² = E, E³ = E,...,Eⁿ = E ③ (AE)ⁿ = AⁿEⁿ, (A ± E)² = A² ± 2AE + E², (A + E)(A - E) = A² - E², / (A + B)² = A² + 2AB + B² ⇔ BA = AB 때만, // 케일리-해밀턴의 정리 : A = (1행◢ a b 2행✪ c d)일 때, A² - (a + d)A + (ad - bc)E = 0,
14, 평면좌표
두 점 사이의 거리 : 1. 수직선 위의 두 점 A(x₁), B(x₂) 사이의 거리는, AB = |x₂ - x₁|, 2. 평면 위의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) 사이의 거리는, AB = √{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}, 도형의 증명 ⇒ 좌표를 활용! 선분의 내분점과 외분점의 좌표 : 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)를 양끝으로 하는 선분 AB가 있을 때, AB를 m : n으로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라 하고, AB의 중점을 M이라 하면, 1. 내분점 : P{(mx₂ + nx₁) / (m + n), (my₂ + ny₁) / (m + n)}, 2. 중 점 : M{(x₂ + x₁) / 2, (y₂ + y₁) / 2}, 3. 외분점 : Q{(mx₂ - nx₁) / (m - n), (my₂ - ny₁) / (m - n)}, A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)인 △ABC의 무게중심은 ⇒ {(x₁ + x₂ + x₃) / 3, (y₁ + y₂ + y₃) / 3}, 자취를 구하는 방법 : 주어진 조건을 만족시키는 점의 자취가 도형 F가 됨을 밝히는 데 있어서 좌표를 이용하는 방법은 1. 좌표축을 적당히 잡고(도형에 관한 문제일 때), 주어진 조건에 알맞는 임의의 점을 (x, y)라 한다. 2. 주어진 조건을 이용하여 x와 y의 관계식을 만든다. 3. 위의 x와 y의 관계식을 보고 자취가 무엇인가를 판정한다. 자취 문제 해결의 기본 : (i)조건을 만족시키는 점을 P(x, y)라 하고, (ii)x와 y의 관계식을 구한다.
15, 직선의 방정식
그래프의 개형을 파악하는 기본 방법 : 1. x에 여러 가지 값을 대입하고, 그에 대응하는 y값을 구한다. 2. 위의 x값을 x좌표, y값을 y좌표로 하는 점들을 좌표평면 위에 잡고, 그 점들을 이어 본다. y = ax + b의 그래프 : 1. y = ax + b에서 a의 성질, a > 0이면 오른쪽 위로 올라가는 직선, a < 0이면 오른쪽 아래로 내려가는 직선, a = 0이면 x축에 평행한 직선이 된다. 특히, y = ax + b가 x축의 양의 방향과 이루는 각을 θ라 하면 a = tanθ이다. 이 때 a를 기울기라 한다. 2. y = ax + b에서 b의 성질, b > 0이면 원점 위쪽에서 y축과 만나고, b < 0이면 원점 아래쪽에서 y축과 만나며, b = 0이면 원점을 지난다. 이 때 b를 y절편이라 한다. ax + by + c = 0의 그래프 : 1. b ≠ 0일 때, y = (-a/b)x - c/b, 기울기 -a / b, y절편 -c / b인 직선, 2. b = 0일 때, ax + c = 0 ∴x = -c/a, y축에 평행한 직선, 3. a = 0일 때, by + c = 0 ∴y = -c/b, x축에 평행한 직선, 직선의 방정식의 일반형은 ⇒ ax + by + c = 0 기울기와 y절편을 알고자 할 때에는 ax + by + c = 0의 꼴을 ⇒ y = mx + n의 꼴로! 방정식 y = f(x)의 그래프에서, x절편은 ⇒ 0 = f(x)의 근(y 대신 0을 대입), y절편은 ⇒ y = f(0)의 근(x 대신 0을 대입) // y = ax + b와 y = a'x + b'의 위치관계 : 1. a ≠ a' ⇔ 한 점에서 만난다 ⇔ 한 쌍의 근을 갖는다. 2. a = a', b ≠ b' ⇔ 평행하다 ⇔ 근이 없다(불능), 3. a = a', b = b' ⇔ 일치한다 ⇔ 근이 무수히 많다(부정), 4. aa' = -1 ⇔ 수직이다. ⇔ 한 쌍의 근을 갖는다. ax + by + c = 0과 a'x + b'y + c'= 0의 위치관계 : 1. a/a' ≠ b/b' ⇔ 한 점에서 만난다 ⇔ 한 쌍의 근을 갖는다. 2. a/a' = b/b' ≠ c/c' ⇔ 평행하다 ⇔ 근이 없다(불능), 3. a/a' = b/b' = c/c' ⇔ 일치한다 ⇔ 근이 무수히 많다(부정), 4. aa' + bb' = 0 ⇔ 수직이다 ⇔ 한 쌍의 근을 갖는다. 기본적인 직선의 방정식 : 1. x절편 a, y축에 평행한 직선 ⇔ x = a, y축의 방정식 ⇔ x = 0, 2. y절편 b, x축에 평행한 직선 ⇔ y = b, x축의 방정식 ⇔ y = 0, 3. 기울기 a, y절편 b인 직선 ⇔ y = ax + b, // 직선의 방정식 : 1. 기울기가 m이고, 점(x₁, y₁)을 지나는 직선의 방정식은 ⇔ y - y₁ = m(x - x₁), 2. 두 점(x₁, y₁),(x₂, y₂)를 지나는 직선의 방정식은 ⇔ {x₁ ≠ x₂일 때, y - y₁ = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) × (x - x₁), x₁ = x₂일 때, x = x₁, 3. x절편이 a이고, y절편이 b인 직선의 방정식은 ⇒ x/a + y/b = 1 세점 A, B, C가 동일 직선 위에 있다. ⇔ 두 점 A, B를 지나는 직선 위에 점 C가 있다. ⇔ 직선 AB의 기울기와 직선 AC의 기울기가 같다. // x, y에 관한 이차방정식이 두 직선을 나타내면 ⇒ (일차식) × (일차식) = 0 // 정점을 지나는 직선 : (ax + by + c)m + (a'x + b'y + c') = 0은 m의 값에 관계없이 항상 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c'= 0의 두 직선의 교점을 지난다. m의 값에 관계없이...하면 ⇒ m에 관하여 정리! // 점과 직선과의 거리 : 좌표평면에서 점P(x₁, y₁)으로부터 직선 ax + by + c = 0까지의 거리를 d라 하면 d = |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²)
16, 원의 방정식
원의 방정식 표준형 : 1. 점(a, b)를 중심으로 하고, 반지름 r인 원의 방정식은, (x - a)² + (y - b)² = r², 2. 특히, 원점을 중심으로 하고,반지름 r인 원의 방정식은, x² + y² = r² // 원의 방정식의 일반형 : 방정식 x² + y² + Ax + By + C = 0 은 중심 : (-A/2, -B/2), 반지름 : √(A² + B² - 4C)/2인 원이다. 세 점이 주어지면 ⇒ x² + y² + Ax + By + C = 0을 이용! // 원과 직선과의 위치관계(Ⅰ) : 직선 : y = mx + n ...➀, 원 : f(x, y) = 0...➁, ➀을 ➁에 대입하면 f(x, mx + n) = 0...➂, 이 때 x의 이차방정식 ➂의 실근은 ➀, ➁의 공유점의 x좌표이므로, ➂의 판별식을 D라 하면 다음과 같은 관계가 있다.D > 0 ⇔ 서로 다른 두 실근 ⇔ 두 점에서 만난다. D = 0 ⇔ 중근 ⇔ 접한다. D < 0 ⇔ 서로 다른 두 허근 ⇔ 만나지 않는다. // 원과 직선과의 위치관계(Ⅱ) : 반지름 r인 원과 직선이 주어졌을 때, 원의 중심에서 직선까지의 거리를 d라 하면, d < r ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다. d = r ⇔ 접한다. d > r ⇔ 만나지 않는다. // 원의 접선의 방정식 : 1. 원 x² + y² = r²위의 점(x₁, y₁)에서의 접선의 방정식은 ⇒ x₁x + y₁y = r², 2. 원 x² + y² = r²에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식은 ⇒ y = mx ± r√(m² + 1) 접한다 ⇔ 중심과 접점과의 거리가 반지름과 같다. // 두 원의 위치관계 : 평면위에 두 개의 원이 주어져 있을 때, 두 원의 반지름 r, r'와 중심 사이의 거리 d와의 관계와 그 위치관계는 다음과 같다. 1. r + r' < d ⇔ 두 원은 서로 밖에 있으며 공유점이 없다. 2. r + r' = d ⇔ 두 원은 한 점에서 외접한다. 3. r - r' < d < r + r' ⇔ 두 원은 두 점에서 만난다. 4. r - r' = d ⇔ 두 원은 한 점에서 내접한다. 5. r - r' > d ⇔ 두 원은 한 쪽이 다른 쪽을 내부에 포함하고 공유점이 없다. // 두 원의 교점을 지나는 원, 직선 : 1. m을 실수라 할 때, (x² + y² + Ax + By + C)m + (x² + y² + A'x + B'y + C') = 0은 m의 값에 관계없이 항상 두 원 x² + y² + Ax + By + C = 0, x² + y² + A'x + B'y + C'= 0의 교점을 지난다. 2. 두 원 x² + y² + Ax + By + C = 0, x² + y² + A'x + B'y + C' = 0의 교점을 지나는 원의 방정식은 -1이 아닌 상수 m에 대하여 (x² + y² + Ax + By + C)m + (x² + y² + A'x + B'y + C') = 0으로 나타내어진다. 특히 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 위 식에서 m = -1인 경우이다. 이상은 두 원이 서로 만나는 경우에 한한다. 자취 문제 해결의 기본 : 1. 조건을 만족시키는 임의의 점을(x, y)라 하고, 2. 주어진 조건을 써서 x와 y의 관계식을 구한다. 아폴로니우스의 원 : 두 정점 A, B에 대하여, PA : PB = m : n(m > 0, n > 0, m ≠ n)인 점P의 자취는 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점과 m : n으로 외분하는 점을 지름의 양끝으로 하는 원이 된다. // x = f(a, b), y = g(a,b)인 점(x, y)의 자취는 ⇒ a, b를 소거하여 x와 y와의 관계식을 구한다.
17, 도형의 이동
평행이동 :: 어떤 도형을 모양과 크기를 바꾸지 않고 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 옮기는 것. // 점의 평행이동 : 좌표평면 위의 점P(x, y)를 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 점을 Q라 하면 Q(x + a, y + b)이다. 이와같이 점 P(x, y)를 점Q(x + a, y + b)로 이동시키는 것을 평행이동이라 하고, T : (x, y) → (x + a, y + b)와 같이 나타낸다. // 도형의 평행이동 : 좌표평면 위의 도형 f(x, y) = 0을 평행이동, T : (x, y) → (x + a, y + b)에 의하여 이동한 도형의 방정식은 f(x - a, y - b) = 0과 같다. 도형 f(x, y) = 0을, x축 방향으로 a만큼 평행이동 ⇒ x대신 x - a를 대입, y축 방향으로 b만큼 평행이동 ⇒ y대신 y - b를 대입한다. // 점의 대칭이동 : 1. x축에 대한 대칭이동은 T : (x, y) → (x, -y), 2. y축에 대한 대칭이동은 T : (x, y) → (-x, y), 3. 원점에 대한 대칭이동은 T : (x, y) → (-x, -y), 4. 직선 y = x에 대한 대칭이동은 T : (x, y) → (y, x), // 도형의 대칭이동 : 좌표평면 위의 도형 f(x, y) = 0을 대칭이동하여 얻은 도형의 방정식은 다음과 같다. 1. x축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 f(x, - y) = 0, 2. y축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 f(- x, y) = 0, 3. 원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 f(- x, - y) = 0, 4. y = x에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 f(y, x) = 0, 꺽인 선의 이동 ⇒ 꺽인 점이 움직인 점에 주목한다. 점에 대한 대칭이동 :: 1, 점(x, y)를 점(a, b)에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (2a - x, 2b - y) 2, 방정식 f(x, y) = 0이 나타내는 도형을 점(a, b)에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 f(2a - x, 2b - y) = 0 임.직선에 대한 대칭이동 :: 점 A를 직선 l에 대하여 대칭이동한 점을 A'이라 할 때, 점 A'의 좌표는 1, 직선 l은 선분 AA'의 중점을 지난다. 2, 직선 l과 직선AA'은 수직이다. 를 이용하여 구할 수 있다.
18, 집합의 뜻과 표현
집합 :: 주어진 조건에 의하여 대상을 분명하게 정할 수 있을 때, 그 대상들의 모임. 원소 :: 집합을 이루는 대상 하나하나, // a는 S에 속한다 ⇒ a∈S // a는 S에 속하지 않는다 ⇒ a∉S // 원소나열법 : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} // 조건제시법 : A = {x|1 ≤ x ≤ 7, x는 정수} // 무한집합 : A = {x | x ≥ 5, x는 자연수} = {5, 6, 7,...}, // 벤 다이어그램 :: 집합에 속하는 모든 원소를 원이나 직□ 같은 도형 안에 나열하여 그림으로 나타내는 방법 // 공집합 : Ø 또는 { } // A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5}일때, x∈A이면 x∈B일때 A를 B의 부분집합이라 하고, A⊂B로 나타내며, A는 B에 포함된다. 라고 합니다 // Ø와 A도 A의 부분집합입니다, // A = {a₁, a₂, ... ,aₙ}의 부분집합의 총수는 ⇒ 2ⁿ개 이고 집합 A의 원소의 갯수는 n(A) = n 개 입니다. // A⊂B이고 B⊂A일 때, A = B로 나타내고, A와 B는 상등이다. // A⊂B이고 A ≠ B일때, A는 B의 진부분집합임.
19, 집합의 연산
합집합 : A⋃B = {x| x∈A or x∈B} // 교집합 : A⋂B = {x| x∈A and x∈B} // 서로소 : A⋂B = Ø // 차집합(A에만있는 원소) : A - B = {x|x∈A and x∉B} = A⋂B𝆢, 전체집합U에는 속하지만 A에는 속하지 않은 원소의 집합은 A의 여집합 A𝆢임. A𝆢 = {x|x∈U and x∉A} // 교환법칙 : A⋃B = B⋃A, A⋂B = B⋂A // 결합법칙 : (A⋃B)⋃C = A⋃(B⋃C), (A⋂B)⋂C = A⋂(B⋂C) 분배법칙 : A⋃(B⋂C) = (A⋃B)⋂(A⋃C), A⋂(B⋃C) = (A⋂B)⋃(A⋂C) // 흡수법칙 : A⋃A = A, A⋂A = A, A⋃(A⋂B) = A, A⋂(A⋃B) = A, A⋃Ø = A, A⋂U = A, A⋃U = U, A⋂Ø = Ø, A⋃A𝆢 = U, A⋂A𝆢 = Ø, (A𝆢)𝆢 = A, Ø𝆢 = U, U𝆢 = Ø // 드모르간 법칙 : (A⋃B⋃C)𝆢 = A𝆢⋂B𝆢⋂C𝆢, (A⋂B⋂C)𝆢 = A𝆢⋃B𝆢⋃C𝆢 // A⋃B = U이고 A⋂B = Ø이면 A = B𝆢이고 B = A𝆢 임, A⋃B = B ⇔ A⊂B, A⋂B = B ⇔ B⊂A // 원소의 개수 : A⋂B = Ø일 때 n(A⋃B) = n(A) + n(B), 일반적으로 n(A⋃B⋃C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A⋂B) - n(B⋂C) - n(A⋂C) + n(A⋂B⋂C), n(Aᶜ) = n(U) - n(A), n(A - B) = n(A) - n(A⋂B) = n(A⋃B) - n(B)
20, 명제
명제 : 참인지, 거짓인지를 명확하게 구별할 수 있는 문장이나 식, // 조건 ::어떤 전체집합U (단,U ≠ Ø)에서의 변수 x를 포함하는 문장이나 식의 U에 속하는 각 원소를 x에 대입하면 명제가 되는 것을 집합 U에서의 조건이라 하고 p(x)로 나타내며 그의 부정은 ~p(x)로 나타냄. ~(~p) = p // 진리집합 : 전체집합 U = {1,2,3,4}인 조건 P = {x| x∈U, x는 4의 약수이다} = {1,2,4} = 진리집합, // 조건으로 이루어진 명제 : 명제 p → q가 참일 때에는 p ⇒ q, 명제 p → q가 거짓일 때에는 p ⇏ q // 명제의 참, 거짓과 집합의 포함 관계 : 전체집합 U에서의 조건 p, q에 대하여 집합 P, Q의 포함관계는 P⊂Q이면 p ⇒ q, p ⇒ q이면 P⊂Q, P⊄Q이면 p ⇏ q, p ⇏ q이면 P⊄Q, // p or q의 부정은 ⇒ ~p and ~q, p and q의 부정은 ⇒ ~p or ~q, p or q ⇒ P⋃Q, p and q ⇒ P⋂Q, ~p ⇒ P𝆢 // 명제의 역, 이, 대우 : 명제 (가정)p → q(결론)의 q → p를 역, ~p → ~q를 이, ~q → ~p를 대우라 함, // 명제와 역, 이, 대우의 참 거짓 : 1.명제 p → q가 참이면 대우 ~q → ~p도 P⊂Q 이면 Q𝆢⊂P𝆢 이므로 반드시 참. 명제 p → q가 거짓이면 대우~q → ~p도 반드시 거짓이다. 2.명제 p → q가 참이라 해도 역q → p, 이~p → ~q는 반드시 참인 것은 아니다. // 삼단논법 : p ⇒ q이고 q ⇒ r이면 p ⇒ r, 확장하여 A ⇒ B ⇒ C ⇒ D이면 A ⇒ D // 필요.충분.필요충분조건의 정의 : 1.p ⇒ q일 때 곧, 명제 p → q가 참일 때 p는 q이기 위한 충분조건, q는 p이기 위한 필요조건 임. // 2. p ⇔ q곧, p → q와 q → p가 모두 참일 때 p는 q이기 위한 필요충분조건, q는 p이기 위한 필요충분조건 // 필요.충분.필요충분조건과 진리집합의 포함 관계 : P⊂Q ⇒ p ⇒ q, P = Q ⇒ p ⇔ q, // all x의 부정은 ⇒ some x, some x의 부정은 ⇒ all x // and의 부정은 ⇒ or, or의 부정은 ⇒ and
21, 명제의 증명
정의 :: 용어의 뜻을 명확하게 정한 문장을 그 용어의 정의라 한다. 증명 :: 어떤 명제가 참임을 보이기 위해서는 그 명제의 가정과 이미 알려진 성질을 근거로 그것이 참임을 논리적으로 밝혀야 하는데 이 과정을 증명이라 한다. 정리 :: 참인 명제를 정리라 하고 , 정리는 다른 명제를 증명하는데 사용되기도 한다. 대우를 이용한 증명 :: 명제 p → q가 참이면 그 대우 ~q → ~p 도 참이므로 명제 p → q가 참임을 증명할 때 그 대우 ~q → ~p 가 참임을 증명해도 된다. 귀류법을 이용한 증명 :: 어떤 명제가 참임을 증명할 때, 그 명제 또는 명제의 [결론]을 부정하여 가정 또는 이미 알려진 사실에 모순됨을 보이는 방법을 귀류법이라 한다. 절대부등식 :: 부등식의 문자에 어떤 실수를 대입하여도 성립하는 부등식을 절대부등식이라 한다. 부등식 증명에 이용되는 실수의 성질 :: a, b가 실수일 때 1, a > b ⇔ a - b > 0, 2, a² ≥ 0, a² + b² ≥ 0, 3,a² + b² = 0 ⇔ a = b = 0, 4, |a|² = a², |a||b| = |ab|, |a| ≥ a, 5, a > 0, b > 0일 때, a > b ⇔ a² > b², 산술평균과 기하평균의 관계 :: a > 0, b > 0일 때, (a + b)/2 ≥ √ab (단, 등호는 a = b일 때 성립한다.)코시-슈바르츠의 부등식 :: a, b, x, y가 실수일 때, (a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)² (단, 등호는 ay = bx일 때 성립한다.)
22, 함 수
함수의 정의 : 1. 함수, 함수값(상), 역상, 독립변수, 종속변수 :: 공집합이 아닌 두 집합 X, Y가 있어서 X의 각 원소에 Y의 원소가 하나씩 대응할 때 이 대응을 X에서 Y로의 함수라 하고, 문자 f를 써서 f : X → Y로 나타낸다. 또 함수 f에 의해 X의 원소 x에 Y의 원소 y가 대응하는 것을 f : x → y, y = f(x)등으로 나타내고, y는 x의 함수이다라고 한다. 이 때 y를 f에의한 x의 함수값(또는 상) 이라 하고 f(x)로 나타낸다. 또, y에 대하여 x를 역상(또는 원상)이라 한다. 여기서 x를 독립변수, y를 종속변수라고 한다. 2. 함수의 정의역, 공역, 치역 // 함수 f : X → Y가 있을 때 X를 f의 정의역, Y를 f의 공역이라 하고, x(x∈X)의 상 전체의 집합{f(x)|x∈X}를 f의 치역이라 하며 f(X)로 나타낸다. 이 때 f(X)는 Y의 부분집합이다. // X에서 Y로의 함수이면(함수 성립조건), ➀ X의 각 원소에 대응하는 Y의 원소가 반드시 있어야 한다. ➁ X의 각 원소에 대응하는 Y의 원소가 [오직 하나]이어야만 한다. // 함수의 그래프 : 함수f : X → Y, y = f(x)가 주어지면 이 함수에 대응하여, G = {(x, f(x))|x∈X} 가 결정된다. 이 집합 G를 함수 y = f(x)의 그래프라고 하며, G의 원소들을 점으로 하여 좌표평면 위에 나타낸 것을 함수 y = f(x)의 그래프의 기하학적 표시라고 말한다. 이 때 G는 곱집합 X × Y의 부분집합이고, 특히 X⊂R(실수), Y⊂R이면 이 함수의 그래프 G는 좌표평면 R × R의 부분집합이다. // y = f(x)의 그래프를 보는 법 : f(x) < 0이 되는 x범위, f(x) = 0이 되는 x의 값, f(0) ⇒ x = 0일 때의 f(x)의 값, f(x) > 0이 되는 x의 범위, f(a) ⇒ x = a일 때의 f(x)의 값 등 // (i) X, Y의 원소의 수가 각각 n개, r개일 때, X에서 Y로의 함수의 개수는 ⇒ r ⁿ 개 (ii)X, Y의 원소의 수가 다같이 n개일 때, X에서 Y로의 일대일 대응의 개수는 ⇒ n(n-1) × ... × 3 × 2 × 1 = n! 임. // 함수의 상등 : 두 함수 f : X → Y, g : U → V가 다음 두 조건을 만족시킬 때, 두 함수는 같다고 하고, f = g로 나타낸다. (i) X = U, (ii) x∈X이면 f(x) = g(x), // 합성함수 : 두 함수 f : X → Y, g : Y → Z가 주어졌을 때, X의 임의의 원소 x에 대하여 f에 의해 Y의 원소 y가 대응하고, 다시 이 y에 대하여 g에 의해 Z의 원소 z를 대응시킬 수 있다. y = f(x), z = g(y), ∴ z = g(f(x)) 이 때 X의 원소 x에 대하여 Z의 원소 g(f(x))를 대응시킴으로써 X를 정의역, Z를 공역으로 하는 새로운 함수를 얻는다. 이 함수를 f와 g의 합성함수라 하고 g∘f로 표시한다. 곧, g∘f : x → g(f(x)), (g∘f)(x) = g(f(x)), // 함수 f : X → Y에서 f(a)는 ⇒ X의 원소 a에 대응하는 Y의 원소, 항등함수(I) : 함수 f : X → Y에서 (i) X = Y이고, (ii) X의 임의의 원소 x에 대하여 f(x) = x일 때, 함수 f를 X에서의 항등함수라 한다. f : X → Y에서, f∘I = I∘f = f, // 함수 f : X → Y에서, (i) 치역이 공역과 같고 (ii) X의 서로 다른 원소에 Y의 서로 다른 원소가 대응할 때, 함수 f를 일대일 대응이라 한다. (g∘f)(x) = g(f(x)), // g∘f의 성질, (i) g∘f ≠ f∘g , (ii) h∘(g∘f) = (h∘g)∘f , // 역함수의 성질 : 함수 f : X → Y가 일대일 대응이면(역함수가 존재할 조건) Y의 각원소 y에 대하여 f(x) = y인 X의 원소 x는 단 하나 존재한다. 따라서 Y의 각 원소 y에 대하여 f(x) = y인 X의 원소 x를 대응시키는 대응관계는 Y에서 X로의 함수이다. 이러한 함수를 함수 f : X → Y의 역함수라 하고 f⁻¹ : Y → X로 나타낸다. f : X → Y, x → y 에서 ⇒ f⁻¹ : Y → X, y → x, y = f(x) ⇔ x = f⁻¹(y) // 역함수의 성질 : 1. f : X → Y가 일대일 대응일 때, f⁻¹ : Y → X에 대하여, (i) (f⁻¹)⁻¹ = f, (ii)f⁻¹(f(x)) = x (x∈X) 곧, f⁻¹∘f = I, f(f⁻¹(y)) = y (y∈Y) 곧, f∘f⁻¹ = I, 2. f : X → Y, g : Y → Z가 일대일 대응일 때, (g∘f)⁻¹ = f⁻¹∘g⁻¹, // 역함수를 구하는 순서 : 1. 주어진 함수가 일대일 대응인가를 확인한다. 2. y = f(x)를 x에 관하여 풀어 x = g(y)로 고친다. 3. x = g(y)에서 x와 y를 바꾸어서 y = g(x)로 한다. f⁻¹의 정의역은 f의 치역, f⁻¹의 치역은 f의 정의역 // 함수 y = f(x)와 그의 역함수 y = f⁻¹(x)의 그래프는 직선 y = x에 대하여 서로 대칭이다. y = f(x)의 역함수가 존재 ⇔ y = f(x)가 일대일 대응 ⇒ (f⁻¹)⁻¹ = f, (g∘f)(x) = g(f(x)), f(a) = b ⇔ f⁻¹(b) = a, 함수 f의 역함수 f⁻¹가 존재할 때, h∘f = g ⇒ h = g∘f⁻¹, f∘k = g ⇒ k = f⁻¹∘g, h(f(x)) = x ⇒ h(x) = f⁻¹(x), // 함수 y = f(x)의 그래프와 그 역함수 y = f⁻¹(x)의 그래프는 직선 y = x에 대하여 대칭이다.
23, 유리함수
유리식, 분수식 : A/B꼴(단, A와 B는 다항식, B ≠ 0)의 식을 유리식이라 하고 A를 분자, B를 분모라 한다. 특히 분모가 상수인 유리식은 다항식이다. 그리고 분모가 일차 이상의 다항식인 유리식을 분수식이라 한다. // 유리식의 기본성질 : A,B,M(B ≠ 0,M ≠ 0)을 다항식이라 할 때, 1. A / B = (A × M) / (B × M) 통분, 2. A / B = (A ÷ M) / (B ÷ M) 약분,이 성립한다. 기약분수 : 더 이상 약분할 수 없는 분수식 // 분수식의 곱셈,나눗셈 : 1. 분모, 분자를 인수분해할 수 있으면 인수분해하고, 또 약분할 수 있으면 약분해서 기약분수식으로 만든다. 2. (A / B) × (C / D) = AC / BD, (A / B) ÷ (C / D) = (A / B) × (D / C) = AD / BC, 3. 다시 약분할 수 있으면 약분해서 기약분수로 만든다. // 분수식의 덧셈,뺄셈 : 1. 분모, 분자를 인수분해할 수 있으면 인수분해하고, 또 약분할 수 있으면 약분해서 기약분수 식으로 만든다. 2. 분모가 같을 때에는 (A / D) + (B / D) - (C / D) = (A + B - C)/D와 같이하고, 분모가 다를 때에는 통분해서 똑같이 한다. 3. 다시 약분할 수 있으면 약분해서 기약분수로 만든다. // y = k/x(k ≠ 0)의 그래프 : 1. 정의역(치역)은 0을 제외한 실수 전체의 집합이다. 2. 원점에 대하여 대칭인 직각쌍곡선이다. 3. 점근선은 x축, y축이다. 4. k > 0이면 그래프는 제1사분면과 제3사분면 에 존재하고, k < 0이면 그래프는 제2사분면과 제4사분면에 존재한다. 5. |k|가 크면 클수록 곡선은 원점에서 멀어진다. // y = k/(x - m) + n(k ≠ 0)의 그래프 : y = k/(x - m) + n ⇔ y - n = k/(x - m), 1. y = k/x (k ≠ 0)의 그래프를 x축 방향으로 m만큼, y축 방향으로 n만큼 평행이동한 것이다. 2. 점(m, n)에 대하여 대칭인 직각쌍곡선이다. 3. 점근선은 x = m, y = n이다. // y = (ax + b)/(cx + d)의 꼴은 ⇒ y - n = k/(x - m)의 꼴로 변형 정의역, 치역 문제 ⇒ 그래프 위에서 생각한다. // y = k/x (k ≠ 0)의 그래프는 직선 y = ± x에 대하여 대칭이다. // 부분분수변형 : 1/(A∘B) = 1/(B - A)∘(1/A - 1/B)
24, 무리함수
a의 제곱근과 √a : 제곱해서 a가 되는 수를 a의 제곱근이라 한다. 곧, x² = a(a는 양의 실수)일 때, x를 a의 제곱근이라 하고, a의 제곱근 중 양인 것을 √a, 음인 것을 -√a로 나타낸다. 따라서 (√a)² = a, (-√a)² = a, 제곱근 a는 ⇒ √a, a의 제곱근 ⇒ ±√a, // 무리수와 무리식 : a/b(단, a, b는 정수, b ≠ 0)의 꼴로 나타낼 수 없는 실수, 곧, 유리수가 아닌 실수를 무리수라 한다. 근호 안에 문자를 포함한 식을 그 문자에 관한 무리식이라고 한다. (근호 안의 식의 값) ≥ 0, // √(A²)의 계산에서는 A ≥ 0일 때와 A < 0일 때로 나누어 생각해야 한다. √A² = {A (A ≥ 0일 때), -A(A < 0일 때),|A| = {A(A ≥ 0일 때), -A(A < 0일 때), 따라서 √A² = |A|이고, A가 수가 아닌 식일 때에도 같다. // 증명문제 : 직접 증명법이 막히면 ⇒ 귀류법을 생각한다. // 제곱근의 계산법칙 : a > 0, b > 0 일 때 1. √a√b = √(ab), 2. √(a²b) = a√b, 3. √a / √b = √(a/b), 4. √(a/b²) = √a/b // 분모의 유리화 방법 : 1. b/√a = b√a/√a√a = b√a/(√a)² = b√a/a, 2. c/(√a + √b) = c(√a - √b)/(√a + √b)(√a - √b) = c(√a - √b)/(a - b) (a ≠ b), 3. c/(√a - √b) = c(√a + √b)/(√a - √b)(√a + √b) = c(√a + √b)/(a - b), 4. 1/(∛a + ∛b) = (∛a² - ∛(ab) + ∛b²)/(∛a + ∛b)(∛a² - ∛(ab) + ∛b²) = (∛a² - ∛(ab) + ∛b²)/ (a + b) // 이중근호를 푸는 요령 : √(p ± 2√q)를 √x ± √y의 꼴로 고치려면, 1. √q 앞에 2가 있음을 확인하고(없으면 있도록 변형한다), 더하면 p, 곱하면 q가 되는 두 수를 찾는다. 2. 그 두 수가 x, y이고, x ≥ y라 할 때, √(p ± 2√q) = √x ± √y(큰 수를 앞에 쓴다). a > b > 0일 때, √(a + b ± 2√(ab)) = √a ± √b // x, y에 관한 대칭식은 ⇒ x + y와 xy를 이용, x의 값을 식에 대입한 다음 정리할 것인가? 식을 간단히 한 다음 x의 값을 대입할 것인가? // 무리수 상등 : 1. a, b, c, d가 유리수이고, √m이 무리수일 때, 가. a + b√m = 0 ⇔ a = 0, b = 0, 나. a + b√m = c + d√m ⇔ a = c, b = d, 2. a, b, m, n이 유리수이고, √m, √n이 무리수일 때, a + √m = b + √n ⇔ a = b, m = n, 3. a, b, c가 유리수일 때, √2a + √3b + √5c = 0 ⇔ a = 0, b = 0, c = 0 // 정의역, 치역 문제 ⇒ 그래프 위에서 생각한다. // y=k√x, y=k√(-x)의 그래프 :: 1. k > 0일 때, y = k√x는 제1사분면에 있고, y = k√(-x)는 제2사분면에 있다. 2. k < 0일 때, y = k√x는 제4사분면에 있고, y = k√(-x)는 제3사분면에 있다. // y = k√(x-m) + n의 그래프 : y = k√(x-m) + n ⇔ y - n = k√(x - m)이므로 y = k√x의 그래프를 x축 방향으로 m만큼, y축 방향으로 n만큼 평행이동한 것이다. 무리함수 y = √x 의 그래프는 그 역함수 y = x²(x ≥ 0)의 그래프를 직선 y = x에 대하여 대칭이동한 것이다. 무리함수 y = -√x의 그래프는 무리함수 y = √x의 그래프와 x축에 대하여 대칭이다. // 무리함수 y = √(ax + b) + c (a ≠ 0)의 그래프는 y = √a(x - p) + q의 꼴로 변형하여 그린다. y = √(ax)의 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 이동한 그래프 이다.
1, 지수
aⁿ에서 a를 거듭제곱의 밑, n을 지수라함. // a의 n제곱근과 ⁿ√a :: 1. a의 n제곱근의 정의 : n제곱해서 a가 되는 수 곧, xⁿ = a를 만족시키는 x를 a의 n 제곱근이라 한다. 2. a의 n제곱근과 ⁿ√a의 관계, (i)n이 홀수인 경우 : a가 실수일 때, a의 n제곱근이 되는 실수는 오직 한개 있으며, 이것을 ⁿ√a로 나타낸다. [ ∵ xⁿ = a 에서 y = xⁿ 과 y = a의 교점인데, n이 홀수인그래프는 모두 3사분면(a < 0)에서 원점을 지나 1사분면( a > 0)으로 가는 증가함수이므로 xⁿ = a의 교점은 a가 양이든 음이든 1개만 존재함, n이 클수록 xⁿ그래프는 y축에 더 가까이 그려짐.] (ii) n이 짝수인 경우 : a > 0일 때 : a의 n제곱근이 되는 실수는 양,음의 두 개 있으며, 양인 것을 ⁿ√a, 음인 것을 -ⁿ√a로 나타낸다. a < 0일 때 : a의 n제곱근이 되는 실수는 없다. [∵ xⁿ = a 에서 y = xⁿ 과 y = a의 교점인데, n이 짝수인 그래프는 모두 2사분면(-ⁿ√a)을 지나 원점을 지나 1사분면(ⁿ√a)으로 가는 아래로 볼록한 포물선 이므로 a < 0일 때는 교점이 없음.] // 거듭제곱근의 계산법칙 :: a > 0, b > 0이고, m, n은 2 이상의 정수일 때, 1. ⁿ√aⁿ√b = ⁿ√(ab), 2. ⁿ√a/ⁿ√b = ⁿ√(a/b), 3. (ⁿ√a)𝆐 = ⁿ√(a)𝆐, 4. 𝆐√(ⁿ√a) = 𝆐ⁿ√a = ⁿ√(𝆐√a), 5. ⁿˢ√(a)𝆐ˢ = ⁿ√(a)𝆐(단, s는 양의 정수), a, b가 양일 때 a > b ⇒ ⁿ√a > ⁿ√b, 지수가 정수일 때의 지수법칙 :: 1. 0의 지수, 음의 정수의 지수의 정의 : a ≠ 0이고, n이 정수일 때, a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ, 2. 지수가 정수일 때의 지수법칙 : a ≠ 0, b ≠ 0이고, m, n이 정수일 때, ① a𝆐 × aⁿ = a⁽𝆐 ⁺ ⁿ⁾, ② a𝆐 ÷ aⁿ = a⁽𝆐 ⁻ ⁿ⁾, ③ (a𝆐)ⁿ = a𝆐ⁿ, ④ (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, // 지수가 유리수일 때의 지수법칙 :: 1. 분수지수의 정의 : a > 0이고, m, n(n ≥ 2)이 정수일 때, a¹ᐟⁿ = ⁿ√a, a𝆐ᐟⁿ = ⁿ√(a)𝆐, 2. 지수가 유리수일 때의 지수법칙 : a > 0, b > 0이고, m, n이 유리수일 때, ① a𝆐 × aⁿ = a⁽𝆐 ⁺ ⁿ⁾, ② a𝆐 ÷ aⁿ = a⁽𝆐 ⁻ ⁿ⁾, ③ (a𝆐)ⁿ = a𝆐ⁿ, ④ (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, // 지수가 실수일 때의 지수법칙 :: a > 0, b > 0이고, m, n이 실수일 때, ① a𝆐 × aⁿ = a⁽𝆐 ⁺ ⁿ⁾, ② a𝆐 ÷ aⁿ = a⁽𝆐 ⁻ ⁿ⁾, ③ (a𝆐)ⁿ = a𝆐ⁿ, ④ (ab)ⁿ = aⁿbⁿ // e⁻ˣ, e⁻²ˣ등을 포함한 분수식은 ⇒ 분모, 분자에 eˣ, e²ˣ등을 곱한다.
2, 로그
로그의 정의 :: a > 0, a ≠ 1일 때, 임의의 양수 b에 대하여 aˣ = b를 만족시키는 실수 x는 오직 하나 존재한다. 이 실수 x를 a를 밑으로 하는 b의 로그라 하고, x = logₐb로 나타낸다. 이 때 b를 logₐb의 진수라 한다. a > 0, a ≠ 1, b > 0일 때 aˣ = b ⇔ x = logₐb, aˣ = b ⇔ x = logₐb, logₐb = x의 꼴을 ⇒ aˣ = b의 꼴로 변형 // 로그의 기본성질 :: a > 0, a ≠ 1이고 x > 0, y > 0일 때, ① logₐa = 1, logₐ1 = 0, ② logₐxy = logₐx + logₐy, ③ logₐ(x/y) = logaₐx - logₐy, ④ logₐxⁿ = nlogₐx(n은 실수) // logₐABC = logₐAB + logₐC = logₐA + logₐB + logₐC, // 밑의 변환공식 :: a > 0, a ≠ 1, b > 0일 때, ① logₐb = logₛb/logₛa (s > 0, s ≠ 1), ② logₐs = 1/logₛa (s ≠ 1), 밑이 다를 때는 ⇒ 밑을 같게 한다. // a > 0, a ≠ 1, k > 0, k ≠ 1, s > 0, s ≠ 1 일 때, ➀ logₐk × logₖs × logₛa = 1 ➁ logₐₘkⁿ = (n/m)∘logₐk ➂ a^logₐk = k ➃ a^logₛk = k^logₛa 밑이 10인 로그를 상용로그라 한다. 10은 생략함.
3, 지수함수
a를 밑으로 하는 지수함수 y = aˣ의 성질 :: 1. 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 {y|y > 0}이다. 2. 그래프는 점(0,1)을 지난다. 3. 그래프는 직선 y = 0(x축)을 점근선으로 한다. 4. a > 1일 때 단조증가하고, 0 < a < 1일 때 단조감소한다. 따라서, 정의역이 {x| m ≤ x ≤ n 일 때, a > 1이면, x = n 일 때 최대값 f(n), x = m 일 때 최소값 f(m)을 갖는다. 0 < a < 1이면 x = m 일 때 최대값 f(m), x = n 일 때 최소값 f(n)을 갖는다. ➀ y = a⁽ˣ ⁻ 𝆐⁾ + n은 y = aˣ를 x축으로 m 만큼, y축으로 n 만큼 이동한 그래프다. ➁ y = -aˣ는 y = aˣ와 x축 대칭 임. ➂ y = (1/a)ˣ는 y = aˣ와 y축 대칭 임. ➃ y = -(1/a)ˣ는 y = aˣ와 원점 대칭 임. ➄ logₐx의 그래프와 y = aˣ의 그래프는 ⇒ 직선 y = x에 대하여 대칭이다. 지수방정식의 해법 :: 1. 항이 두 개인 경우 : (i)밑을 같게 할 수 있을 때는 aᶠ⁽ˣ⁾ = aʰ⁽ˣ⁾의 꼴로 정리한 다음, f(x) = h(x)를 푼다.(단,a > 0, a≠1), (ii)밑을 같게 할 수 없을 때는 aᶠ⁽ˣ⁾ = bʰ⁽ˣ⁾의 꼴로 정리한 다음, logaᶠ⁽ˣ⁾ = logbʰ⁽ˣ⁾를 푼다.(단,a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1), 2. 항이 세 개 이상인 경우 : aˣ = X로 치환하여 X의 정방정식으로 고친 다음 푼다. aᶠ⁽ˣ⁾ = aʰ⁽ˣ⁾이면 ⇒ f(x) = h(x), 또는 a = 1, m, n이 양, mᶠ⁽ˣ⁾ = nᶠ⁽ˣ⁾이면 ⇒ m = n 또는 f(x) = 0, a가 r% 증가하면 ⇒ (1 + r/100)a, 지수부등식의 해법 :: 1. 지수방정식의 해법과 같은 방법으로 푼다. 2. 밑의 범위에 따라 부등호의 방향을 결정한다. a > 1인 경우, a𝆐 > aⁿ ⇔ m > n, 0 < a < 1인 경우, a𝆐 > aⁿ ⇔ m < n , aˣ꼴이 반복되는 경우 :: aˣ = X로 치환하여 X의 부등식으로 고친 다음 푼다.
4, 로그함수
지수함수 y = aˣ(a > 0, a ≠ 1)의 역함수 y = logₐx(a > 0, a ≠ 1) a를 밑으로 하는 로그함수의 성질 :: 1. 정의역은 {x|x > 0}이고, 치역은 실수 전체의 집합 R이다. 2. 그래프는 점(1,0)을 지난다. 3. 그래프는 직선 x = 0(y축)을 점근선으로 한다. 4. a > 1일 때 단조증가하고, 0 < a < 1일 때 단조감소한다. // 함수 y = f(x)의 역함수를 구하는 순서, (i)주어진 함수가 일대일 대응인가를 확인한다. (ii)x에 관하여 풀어 x = g(y)로 고친다. (iii)x와 y를 바꾸어서 y = g(x)로 한다. 제한 변역이 있는 함수의 최대와 최소 문제는 ⇒ 그래프를 그려서 해결함. 지수가 복잡할 때에는 먼저 logy의 최대값(또는 최소값)을 구한다 따라서, 정의역이 {x| m ≤ x ≤ n 일 때, a > 1이면, x = n 일 때 최대값 f(n), x = m 일 때 최소값 f(m)을 갖는다. 0 < a < 1이면 x = m 일 때 최대값 f(m), x = n 일 때 최소값 f(n)을 갖는다. ➀ y = logₐ(x - m) + n은 y = logₐx를 x축으로 m 만큼, y축으로 n 만큼 이동한 그래프다. ➁ x축 대칭 그래프 y = - logₐx ➂ y축 대칭 그래프 y = logₐ(-x) ➃ 원점 대칭 그래프 y = - logₐ(-x) ➄ 직선 y = x 대칭 그래프 y = aˣ // 로그방정식의 해법 :: 1. logₐf(x) = logₐg(x) 또는 logₐf(x) = s의 꼴로 정리한 다음 로그가 없는 꼴로 고쳐 풀어 본다. logₐf(x) = logₐg(x) ⇒ f(x) = g(x), logₐf(x) = s ⇒ f(x) = aˢ, 2. logₐx = X로 치환해 본다. 3. 양변의 로그를 잡아 본다. 밑과 지수에 모두 미지수가 있으면 ⇒ 로그를 잡는다. 연립방정식의 해법의 기본은 미지수의 소거 ⇒ 일원 방정식으로 유도! a(logx)² + b(logx) + c = 0의 두 근이 α, β일 때 at² + bt + c = 0의 두 근은 logα, logβ이다. 로그부등식의 해법 :: 1. 로그방정식을 풀 때와 거의 같은 방법으로 푼다. 2. 밑의 범위에 따라 부등호의 방향을 결정한다. a > 1인 경우, logₐM > logₐN ⇔ M > N (M > 0, N > 0), 0 < a < 1인 경우, logₐM > logₐN ⇔ M < N (M > 0, N > 0), // 원금을 a, 이율을 r, 기간을 n, 원리합계를 S라 할 때, 단리법으로 계산하면 ⇒ S = a(1 + rn), 복리법으로 계산하면 ⇒ S = a(1 + r)ⁿ, 부등식의 양변의 로그를 잡을 때 ⇒ 밑의 범위에 따라 부등호를 결정한다. 로그부등식의 영역 ⇒ 밑과 진수의 조건부터 확인한다. 지수함수와 로그함수를 포함한 문제에서는 두 함수의 직선 y = x 등에 대한 대칭성을 살펴본다.
5, 삼각함수
일반각 ::좌표평면의 원점 O에서 x축의 양의 부분을 시초선으로 잡고 동경 OP가 나타내는 한 각의 크기를 α°라 하면 ∠XOP의 크기는 360° × n + α°(n은 정수), 사분면의 각 :: 동경 OP가 1사분면에 있으면 1사분면의 각, 3사분면에 있으면 3사분면의 각이다. 호도법 :: 반지름의 길이 r과 호 AB의 길이가 같을 때, ∠AOB의 크기를 1호도(radian)이라 하고 이것을 단위로 하는 각의 측정법 // 호도법과 60분법의 관계 : πrad = 180 ⇒ {1rad = 180/π ≒ 57도 17'45, 1도 = π/180rad ≒ 0.01745rad // 부채꼴의 호의 길이와 넓이 :: 반지름의 길이가 r인 원에서 중심각이 θ(rad)인 부채꼴의 호의 길이를 l, 넓이를 S라 하면, l = rθ, S = ½ r² θ = ½ r l 이 성립한다. 삼각비의 정의 : ∠C = 90도, ∠A = θ인 직각△ ABC에서 세 변의 길이 a, b, c사이의 비의 값을 다음과 같이 정의한다. sinθ = a/c, cosθ = b/c, tanθ = a/b, cscθ = c/a, secθ = c/b, cotθ = b/a // 일반각의 표시 : 동경 OP가 시초선 OX의 양의 방향과 이루는 최소의 양의 각을 α°라 하면 동경 OP가 나타내는 일반각 θ°는, θ° = 360° × n + α°, (단, n = 0, ±1, ±2,...) // 일반각의 삼각함수의 정의 : 동경 OP가 x축의 양의 방향과 이루는 각을 θ라 할 때, sinθ = y/r, cosθ = x/r, tanθ = y/x, cscθ = r/y, secθ = r/x, cotθ = x/y로 나타내고, 이들을 각각 θ의 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수, 코시컨트함수, 시컨트함수, 코탄젠트함수라 하며, 이들을 통틀어 삼각함수라 부른다. // 삼각함수의 값의 부호(+) :: 제1사분면부터 차례로 읽어보면, all(모두 +), sin, tan(3사분면에서는 tan만 +임), cos ⇒ 얼싸안고 // 두 각 α, β를 나타내는 동경 OP, OP'에 대하여, 일치한다 ⇔ α - β = 360° × n(단, n은 정수), 일직선 위에 있고 방향이 반대이다 ⇔ α - β = 360° × n + 180°, x축에 대하여 대칭이다 ⇔ α + β = 360° × n, y축에 대하여 대칭이다 ⇔ α + β = 360° × n + 180°, P, Q가 원점에 대하여 대칭 ⇔ P(x, y), Q(-x,-y) 상제관계, tanθ = sinθ/cosθ, cotθ = cosθ/sinθ, 제곱 관계, sin²θ + cos²θ = 1,
6, 삼각함수의 그래프
삼각함수의 그래프 : 1. y = sinx의 그래프, 최대값 1, 최소값 -1, 곧, - 1 ≤ sinx ≤ 1, 주기 : 360 = 2π, 2. y = cosx의 그래프, 최대값 1, 최소값 -1, 곧, -1 ≤ cosx ≤ 1, 주기 : 360 = 2π, 3. y = tanx의 그래프, 최대값, 최소값은 없다, 주기 : 180 = π, // 삼각함수의 성질 : 1. 정의역, y = sinx, y = cosx ⇒ {x|x는 실수}, y = tanx ⇒ {x|x는 실수, x ≠ nπ + π/2, n은 정수}, 2. 치역, y = sinx, y = cosx ⇒ {y|-1 ≤ y ≤ 1}, y = tanx ⇒ {y|y는 실수}, 3. 대칭성 , y = sinx, y = tanx의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. y = cosx의 그래프는 y축에 대하여 대칭이다. // y = rsin(ωx + α)의 성질 : 1. r의 값이 변함에 따라 최대값, 최소값이 변한다. 최대값 : |r|, 최소값 : -|r|, 그러나 r의 값이 변하더라도 주기는 변하지 않는다. 2. ω의 값이 변함에 따라 주기가 변한다. 주기 : 360 ÷ |ω|, 그러나 ω의 값이 변하더라도 최대값, 최소값에는 관계가 없다. y = rcosωx ⇒ 최대값 |r|, 최소값 -|r|, 주기 360 ÷ |ω|, y = rtanωx ⇒ 최대값, 최소값은 없고, 주기 180 ÷ |ω|, T가 함수 f(x)의 주기이면 ⇒ 임의의 x에 대하여 f(x + T) = f(x), f(x) = asin(ωx + α) + b 에서, 최대값 : |a| + b, 최소값 : -|a| + b, 주기 : 2π ÷ |ω|,이다. 제한 변역에서의 최대와 최소 문제는 ⇒ 그래프를 활용! sinx, cosx를 치환하면 ⇒ 변역이 생긴다. // 삼각함수의 기본 성질기본 공식 : 1. 역수 관계, cscθ = 1/sinθ, secθ = 1/cosθ, cotθ = 1/tanθ 2. 상제 관계, tanθ = sinθ/cosθ, cotθ = cosθ/sinθ, 3. 제곱 관계, sin²θ + cos²2θ = 1, tan²θ + 1 = sec²θ, 1 + cot²θ = csc²θ // cosθ의 값이 주어질 때, sin²θ + cos²θ = 1에서 ⇒ sinθ의 값, tanθ = sinθ/cosθ에서 ⇒ tanθ의 값 // tanθ의 값이 주어질 때, tan²θ + 1 = sec²θ에서 ⇒ secθ의 값 ⇒ cosθ의 값, sin²θ + cos²θ = 1에서 ⇒ sinθ의 값 // sinθ ± cosθ = a 로 부터 sinθcosθ를 구할 때에는 ⇒ 양변을 제곱한다. // 90n ± θ의 삼각함수 :: 1. 주기 공식, sin(360n + θ) = sinθ, cos(360n + θ) = cosθ, tan(180n + θ) = tanθ, (단, n = 0, ±1, ±2,...), 2. 음각 공식, sin(-θ) = -sinθ, cos(-θ) = cosθ, tan(-θ) = -tanθ, 3. 보각 공식, sin(180 - θ) = sinθ, cos(180 - θ) = -cosθ, tan(180 - θ) = -tanθ, 4. 여각 공식, sin(90 - θ) = cosθ, cos(90 - θ) = sinθ, tan(90 - θ) = cotθ, // 90n ± θ 총정리 : 1. n이 짝수이면 sin은 sin, cos는 cos, tan은 tan 로 되며, n이 홀수이면 sin은 cos, cos는 sin, tan은 cot로 변한다. 2. θ는 항상 예각으로 간주하고(설령 둔각이든,어떤 각이든), 90n ± θ가 나타내는 동경을 그린다. 이 때 그 동경이 몇 사분면에 존재하는가{얼싸안고(4사분면에서는 cos만 +)}를 따져서 그 사분면에서의 그 삼각형의 부호가 양이면 '+'를, 음이면 '-'를 앞에 붙인다. // 삼각방정식 : cosx = -½ 에서, x가 갖는 값의 범위가 예각일 때에는 그 값을 쉽게 찾을 수 있지만 예각의 범위를 넘을 때에는 쉽지가 않다. 이런 경우에는 y = sinx, y = cosx, y = tanx의 그래프를 그려 놓고, 이 그래프 위에서 찾는 것이 좋다. // 간단한 삼각부등식은 ⇒ 삼각함수의 그래프로써 해결! // 특수각(0 ≤ α ≤ π/2)을 알아서 일반각(x) 구하는 방법 0 (1사분면), π (2, 3사분면), 2π (4사분면) 기준으로[1, 3사분면은 (+), 2, 4분면은 (-) 임]로 특수각을 처리. (∵ 동경이 나비 넥타이 모양 이어야 하기 때문에) // 삼각방정식의 일반해 :: 특수해를 α라 하고, n을 임의의 정수라 할 때,① sinx = a(|a| ≤ 1)의 일반해는 ⇒ x = nπ + (-1)ⁿα, ② cosx = a(|a| ≤ 1)의 일반해는 ⇒ x = 2nπ ± α, ③ tanx = a의 일반해는 ⇒ x = nπ + α, // sinx = sinα, cosx = cosα, tanx = tanα의 해 :: ① sinx = sinα의 해는 ⇒ x = nπ + (-1)ⁿα, ② cosx = cosα의 해는 ⇒ x = 2nπ ± α, ③ tanx = tanα의 해는 ⇒ x = nπ + α,
7, 삼각함수의 활용
사인법칙 : 삼각형 ABC의 세 각의 크기 A, B, C와 세변의 길이 a, b, c 및 외접원의 반지름 R 사이에는 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R관계가 성립한다. 따라서, a : b : c = sinA : sinB : sinC도 성립함 코사인법칙 : 1. 제일 코사인법칙, a = bcosC + ccosB, b = ccosA + acosC, c = acosB + bcosA, 2. 제이 코사인법칙, a² = b² + c² - 2bccosA, b² = c² + a² - 2cacosB, c² = a² + b² - 2abcosC, 변형식 : cosA = (b² + c² - a²) / 2bc 등 삼각형의 꼴을 알고자 할 때에는 변의 관계를 유도하거나, 각의 관계를 유도하여라. // 두 변과 그 사이각을 알 때의 넓이 : 각 A와 변 b, c가 주어졌을 때, △ABC의 넓이 S는 S = ½bcsinA // 헤론의 공식 : △ABC의 넓이 S는 S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}, (단, 2s = a + b + c), // 세 변의 길이와 외접원의 반지름의 길이가 주어졌을 때 :: S = (abc)/4R = 2R²sinAsinBsinC, 최소의 길잡이 작도 ⇒ 대칭성을 활용하라. 평행사변형의 넓이 :: 평행사변형ABCD에서 이웃하는 두변의 길이가 각각 a, b이고, 그 끼인각의 크기가 θ 일 때, 평행사변형ABCD의 넓이 S는 S = absinθ □ABCD의 넓이 :: □ABCD에서 두 대각선의 길이가 각각 a, b이고, 두 대각선이 이루는 각의 크기가 θ 일 때, □ABCD의 넓이 S는 S = ½absinθ
8, 등차수열
수열 :: 차례로 나열한 수의 열, 항 :: 수열을 이루고 있는 각각의 수, 등차수열 :: 첫째항 부터 일정한 수를 더하여 만든 수열, 공차 :: 더하는 일정한 수 등차수열의 일반항 :: 첫째항 a, 공차 d인 등차수열의 일반항을 aₙ이라 하면 :: aₙ = a + (n-1)d, aₙ₊₁ - aₙ = d, 등차수열의 일반항 aₙ은 공차가 0이 아닐 때 ⇒ aₙ = pn + q(n의 일차식), 공차가 0일 때 ⇒ aₙ = q(상수) // 등차중항 :: 1. a, x, b(등차수열) ⇔ 2x = a + b ⇔ (등차중항) x = (a + b)/2, 2. a₁, a₂, ...,aₙ, aₙ₊₁, aₙ₊₂(등차수열) ⇔ 2aₙ₊₁ = aₙ + aₙ₊₂, // 수열 {aₙ}에서 (i) aₙ = a + (n - 1)d ⇔ 첫째항 a, 공차 d인 등차수열, (ii) aₙ₊₁ - aₙ = d(일정) ⇔ 공차 d인 등차수열, (iii)2aₙ₊₁ = aₙ + aₙ₊₂ ⇔ 등차수열, 세 수가 등차수열 ⇔ a - d, a, a + d, 네 수가 등차수열 ⇔ a - 3d, a - d, a + d, a + 3d, 다섯 수가 등차수열 ⇔ a - 2d, a - d, a, a + d, a + 2d, // 조화수열 :: 1. a, x, b(조화수열) ⇔ 2/x = 1/a + 1/b ⇔ (조화중항) x = 2ab/(a + b), 2. a₁, a₂, ..., aₙ, aₙ₊₁, aₙ₊₂(조화수열) ⇔ 2/aₙ₊₁ = 1/aₙ + 1/aₙ₊₂, 조화수열의 제 n항은 ⇒ 역수가 등차수열 임을 이용! // 등차수열의 합의 공식 :: 첫째항이 a, 공차가 d, 제n항이 l인 등차수열의 제n항까지의 합을 Sₙ이라 하면 Sₙ = n(a + l)/2(끝항이 주어질때), Sₙ = n{2a + (n - 1)d}/2(공차가 주어질 때), 특수한 등차수열의 합 :: 1. 자연수의 합 : 1 + 2 + 3 +...+ n = n(n+1)/2, 2. 홀수의 합 : 1 + 3 + 5 +...+ (2n-1) = n², 3. 짝수의 합 : 2 + 4 + 6 +...+ 2n = n(n+1), // 합과 일반항의 관계 :: Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ +...+ aₙ₋₁ + aₙ이라 할 때, a₁ = S₁, aₙ = Sₙ -Sₙ₋₁(단, n = 2,3,4,...), // Sₙ = an² + bn ⇒ 첫째항부터 등차수열을 이룬다. Sₙ = an² + bn + c(c ≠ 0) ⇒ 제2항부터 등차수열을 이룬다.
9, 등비수열
등비수열, 공비 :: 첫째항부터 차례로 일정한 수를 곱하여 만든 수열, 곱하는 일정한 수를 공비라 함. 등비수열의 일반항 :: 첫째항 a, 공비 r인 등비수열의 일반항을 aₙ이라 하면, (i)aₙ = ar⁽ⁿ⁻¹⁾, (ii) aₙ₊₁ = raₙ, 특히 a ≠ 0, r ≠ 0일 때, aₙ₊₁ ÷ aₙ = r, // 등비중항 :: (i) a, x, b(등비수열) ⇔ x² = ab ⇔ x = ±√(ab), (ii) a₁, a₂,..., aₙ, aₙ₊₁, aₙ₊₂(등비수열) ⇔ (aₙ₊₁)² = aₙ∘aₙ₊₂, // 등차.등비.조화중항 사이의 관계 :: (i)A ≥ G ≥ H(단,등호는 a = b일 때 성립), (ii) AH = G² 곧, A, G, H는 등비수열을 이룬다. a, b, c가 등차수열 ⇔ 2b = a + c, a, b, c가 등비수열 ⇔ b² = ac, // 등비수열의 합의 공식 :: 첫째항 a, 공비 r인 등비수열의 제n항까지의 합을Sₙ이라 하면, r ≠ 1일 때, Sₙ = a(rⁿ - 1)/(r - 1), Sₙ = a(1 - rⁿ)/(1 - r), [r < 1 일때] r = 1일 때, Sₙ = na
10, 여러 가지 수열
기호 Σ의 약속 :: a₁, a₂,..., aₙ = Σₖ₌₁ⁿaₖ, // 기호 Σ의 성질 :: 1. Σₖ₌₁ⁿ(aₖ ± bₖ ) = Σₖ₌₁ⁿaₖ ± Σₖ₌₁ⁿbₖ, 2. Σₖ₌₁ⁿcaₖ = cΣₖ₌₁ⁿaₖ(c는 상수), 3. Σₖ₌₁ⁿc = cn, // 자연수의 거듭제곱의 합 :: 1. Σₖ₌₁ⁿk = 1 + 2 + 3 +...+ n = n(n + 1)/2, 2. Σₖ₌₁ⁿk² = 1² + 2² + 3² +...+ n² = n(n + 1)(2n + 1)/6, 3. Σₖ₌₁ⁿk³ = 1³ + 2³ + 3³ +...+ n³ = {n(n + 1)/2} ² = (1 + 2 + 3 +...+ n)², // 합 Sₙ을 구하는 일반적인 방법, 1. 제k항인 aₖ를 구한다. 2. aₖ 앞에 기호Σ를 붙인다. 곧, Sₙ = Σₖ₌₁ⁿaₖ, // 계차가 수열을 이룰 때 원수열의 일반항 :: 수열{aₙ}의 계차수열을 {bₙ}이라 할 때, aₙ = a₁ + (b₁ + b₂ +...+ bₙ₋₁) = a₁ + Σₖ₌₁ⁿ⁻¹bk, 수열{aₙ}의 계차수열을 {bₙ}이라 하면, 일반항 ⇒ aₙ = a₁ + Σₖ₌₁ⁿ⁻¹bₖ, 합 ⇒ Sₙ = Σₖ₌₁ⁿaₖ, 규칙성이 나타날 때까지 처음 몇 항을 직접 구한다. 수열의 합은 ⇒ 소거되는 규칙성이 있는지 확인한다. 1/A∘B=1/(B - A)∘(1/A - 1/B), // S = 1 + 3x + 5x² +...+ (2n-1)x⁽ⁿ⁻¹⁾을 계산하려면 ⇒ S - xS를 계산하여라(단, x는 등비수열의 공비), // 부분분수로 변형 :: Σₖ₌₁ⁿ 1/k(k + 1) = Σₖ₌₁ⁿ{1/k - 1/(k + 1)}, // 분모를 유리화 :: Σₖ₌₁ⁿ1/{√k + √(k + 1)} = Σₖ₌₁ⁿ{√(k + 1) - √k},
11, 수학적 귀납법
수열의 귀납적 정의 :: 수열 {aₙ}에서 i) 첫째항 a₁의 값 ii) 이웃하는 두 항 aₙ, aₙ₊₁ (n = 1, 2, 3, 4,...)사이의 관계식과 같이 처음 몇 개의 항과 이웃하는 항들 사이의 관계식으로 수열을 정의 하는 것, 점화식의 유형 :: 1. 기본 점화식, 수열 {aₙ}에서 n = 1, 2, 3, 4,...일 때, ① aₙ₊₁ - aₙ = d(일정) ⇒ 공차 d인 등차수열, ② aₙ₊₁ ÷ aₙ = r(일정) ⇒ 공비 r인 등비수열, ③ 2aₙ₊₁ = aₙ + aₙ₊₂ ⇒ 등차수열, ④ aₙ₊₁² = aₙ × aₙ₊₂ ⇒ 등비수열 ⑤ 2/aₙ₊₁ = 1/aₙ + 1/aₙ₊₂ ⇒ 조화수열, 2. aₙ₊₁ = aₙ + f(n)의 꼴, n에 1, 2, 3,...,n - 1을 대입하여 얻은 식을 변변 더한다. 3. aₙ₊₁ = f(n)∘aₙ의 꼴, n에 1, 2, 3,...,n - 1을 대입하여 얻은 식을 변변 곱한다. 4. paₙ₊₂ + qaₙ₊₁ + raₙ = 0의 꼴, p + q + r = 0인 경우, paₙ₊₂ + qaₙ₊₁ +raₙ = 0의 꼴 ⇒ aₙ₊₂ - aₙ₊₁ = k(aₙ₊₁ - aₙ)의 꼴로 변형하고, 계차수열이 공비 k인 등비수열임을 이용 한다. 5. aₙ₊₁ = paₙ + q의 꼴, p = 0이면 각 항이 q인 등차수열이 되고, p = 1이면 aₙ₊₁ - aₙ = q로서 공차 q인 등차수열이 된다. p ≠ 0, p ≠ 1인 경우, aₙ₊₁ = paₙ + q의 꼴 ⇒ aₙ₊₁ + β = p(aₙ + β)의 꼴로 변형하고 수열{aₙ + β}는 공비 p인 등비수열임을 이용한다. // 수학적귀납법 :: 명제 p(n)이 임의의 자연수 n에 대하여 성립하는 것을 증명하려면 다음 두 가지를 증명하면 된다. (i) n = 1일 때 명제 p(n)이 성립한다. (ii) n = k일 때 명제 p(n)이 성립한다고 가정하면, n = k+1일 때도 명제 p(n)이 성립한다. n ≥ a인 자연수 n, a에 대하여 명제 p(n)의 성립 증명, (i) n = a일 때 성립한다. (ii) n = k일 때 성립하면 n = k + 1일 때도 성립한다. 명제 p(n)이 모든 자연수 n에 대하여 성립함의 증명, (i) p(1)이 성립한다. (ii)p(k)가 성립하면 p(k+1)도 성립한다.
12, 함수의 극한
1, x → a 일 때 함수의 수렴 :: 함수 f(x)에서 x의 값이 a가 아니면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값이 일정한 값 L에 한없이 가까워 지면 함수 f(x)는 L에 수렴한다고 한다. 이때 L을 함수 f(x)의 x = a에서의 극한값이라 하고, 기호로는 lim(x→a)f(x) = L로 나타낸다. // 2, x → a 일 때 함수의 발산 :: 함수 f(x)에서 x의 값이 a가 아니면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)가 수렴하지 않으면 f(x)는 발산한다고 한다. lim(x→a)f(x) = ∞ (무한대로 발산), (좌극한)lim(x→a-)f(x) = (우극한)lim(x→a+)f(x) = L ⇔ lim(x→a)f(x) = L, 함수 f(x)의 x = a에서의 극한값이 L이면 x = a에서의 우극한과 좌극한이 모두 존재하고 그 값은 모두 L로 같다. 역으로 함수 f(x)의 x = a에서의 우극한과 좌극한이 모두 존재하고 그 값이 L로 같으면 lim(x→a)f(x) = L이다. // 함수의 극한값에 관한 기본성질 :: lim(x→a)f(x) = α, lim(x→a)g(x) = β(α, β는 일정)이면, ① lim(x→a)kf(x) = kα(k는 상수), ② lim(x→a) {f(x) ± g(x)} = α ± β, ③ lim(x→a){f(x)∘g(x)} = αβ, ④ lim(x→a){f(x) / g(x)} = α / β(β ≠ 0), lim(x→0-)(1 / x) = -∞, lim(x→0+)(1 / x) = ∞, 0 /0꼴의 분수식의 극한값은 먼저 분모, 분자를 인수분해한 다음, 약분한다. 먼저, 분모의 최고차항으로 분모, 분자를 나눈다. // 0 /0꼴의 무리식의 극한값은 (i) 분모, 분자 중 √가 있는 쪽을 먼저 유리화 한다. (ii) 분모, 분자에 모두 √가 있을 때에는 분모, 분자에 켤레수를 곱한다. 근호 밖의 x의 최고차항으로 분모, 분자를 나눈다. // ∞ × 0(무한소, 0에 가까워지는)꼴의 극한은 ∞ × C, C/∞, ∞/∞, 0/0꼴로 변형할 수 있는가를 검토해 본다. ∞ / ∞꼴 :: 분모의 최고차항으로 분모, 분자를 각각 나눈다. ∞ - ∞꼴 :: 다항식은 최고차항으로 묶는다. 또한, 분모 또는 분자에 근호가 있으면 근호가 있는 쪽을 유리화한다. // 미정계수의 결정 :: 두 함수 f(x), g(x)에 대하여 ➀ lim(x→a){f(x) / g(x)} = α (α는 실수)이고 lim(x→a)g(x) = 0이면 lim(x→a)f(x) = 0이다. ➁ lim(x→a){f(x) / g(x)} = α (α는 0이 아닌 실수)이고 lim(x→a)f(x) = 0이면 lim(x→a)g(x) = 0이다. // 함수의 극한의 대소 관계 :: 두 함수 f(x), g(x)에 대하여 lim(x→a)f(x) = α, lim(x→a)g(x) = β(α, β는 실수)일 때, a에 가까운 모든 실수 x에 대하여 ➀ f(x) ≤ g(x)이면 α ≤ β 이다. ➁ 함수 h(x)에 대하여 f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)이고 α = β 이면 lim(x→a)h(x) = α 이다.
13, 함수의 연속
연속 :: 함수 f(x)에 대하여 (i) x = a에서 정의되어 있고(함수값 존재), (ii) 극한값 lim(x→a)f(x)가 존재하며, (iii) lim(x→a)f(x) = f(a)일 때, x = a에서 연속이다. (i), (ii), (iii)중 어느 하나라도 만족시키지 않으면 함수 f(x)는 x = a에서 불연속이다. 연속함수의 성질 :: 두 함수 f(x), g(x)가 x = a에서 연속이면 다음 함수도 x = a에서 연속이다. ➀ cf(x) (단, c는 상수) ➁ f(x) + g(x), f(x) - g(x) ➂ f(x)g(x) ➃ f(x)/g(x) (단, g(x) ≠ 0), // 최대.최소 정리 :: 함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이면 f(x)는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다. // 사잇값 정리 :: 함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 f(a) ≠ f(b)이면 f(a)와 f(b) 사이의 임의의 값 k에 대하여 f(c) = k인 c가 열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다. // 사잇값 정리의 활용 :: 함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 f(a)와 f(b)의 부호가 서로 다르면 f(c) = 0인 c가 열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다. 즉, 방정식 f(x) = 0은 열린구간 (a, b)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.
14, 미분계수와 도함수
증분 :: 함수 y = f(x) 에서 x의 값이 a에서 b까지 변할 때, y의 값은 f(a) 에서 f(b)까지 변한다. 이때 x값의 변화량 b - a를 x의 증분, y의 값의 변화량 f(b) - f(a)를 y의 증분 이라 하고, 기호로 각각 Δx, Δy와 같이 나타낸다, 평균변화율 :: 1. 평균변화율의 정의 : 함수 y = f(x)에서 x의 값이 a로부터 a + Δx까지 변할 때, Δy/Δx = {f(a + Δx) - f(x)}/Δx를 구간[a, a + Δx]에서의 y의 평균변화율이라 한다. 2. 평균변화율의 기하학 적인 의미 : 함수 y = f(x)의 구간[a, a + Δx]에서의 y의 평균변화율은 함수 y = f(x)의 x좌표가 a인 점과 a + Δx인 점을 지나는 직선의 기울기를 나타낸다. // 변화율(미분계수) :: 1. 변화율(미분계수)의 정의 : 함수 y = f(x)에서 구간[a, a + Δx]에서의 평균변화율의 Δx → 0일 때의 극한값 곧, lim(Δx→0)Δy/Δx = lim(Δx→0){f(a + Δx) - f(a)}/Δx가 존재할 때, 이 극한값을 함수 f(x)의 x = a에서의 순간 변화율, 변화율 또는 미분계수라 하고, f '(a), y'ₓ₌ₐ, [dy/dx]ₓ₌ₐ로 나타낸다. 2. 변화율의 기하학적인 의의 : 함수 y = f(x)의 x = a에서의 변화율 f'(a)는 x 좌표가 a인 점에서의 접선의 기울기를 나타 낸다. 함수 y = f(x)의 x = a에서의 변화율은 f '(a) = lim(Δx→0)dy/dx = lim(x→a){f(x) - f(a)}/(x - a), // 미분가능 :: 함수 f(x)에 대하여 lim(h→0){f(a + h) - f(a)}/h가 존재하면 함수 f(x)는 x = a에서 미분가능하다. // 미분가능성과 연속성 :: (i) 함수 f(x)가 x = a에서 미분가능하면 f(x)는 x = a에서 연속이다. (ii) 함수 f(x)가 어떤 구간에서 미분가능하면 f(x)는 그 구간에서 연속이다. // 도함수 :: 1. 도함수의 정의 : 함수 y = f(x)에서 lim(Δx→0)Δy/Δx = lim(Δx→0){f(a + Δx) - f(a)}/Δx를 x에 관한 y의 도함수라 하고, y', f'(x), dy/dx, df(x)/dx등의 기호를 써서 나타낸다. 2. 도함수의 기하학적인 의의 : 함수 y = f(x)의 도함수 f '(x)는 함수 f(x)의 그래프 위의 x좌표가 x인 점에서의 접선의 기울기를 나타낸다. // 미분법의 기본공식 :: 두 함수 f(x), g(x)의 도함수가 존재할 때, ① f(x) = c(상수)이면 ⇒ f '(x) = 0, ② y = xⁿ (n은 유리수)이면 ⇒ y'= nx⁽ⁿ⁻¹⁾, ③ y = cf(x) (c는상수)이면 ⇒ y'= cf '(x), ④ y = f(x) ± g(x)이면 ⇒ y'= f '(x) ± g'(x), ⑤ y = f(x)g(x)이면 ⇒ y' = f '(x)g(x) + f(x)g'(x), ⑥ y = f(x) / g(x) (g(x) ≠ 0)이면 ⇒ y' = {f '(x)g(x) - f(x)g'(x)}/{g(x)}², // 합성함수의 미분법 :: y = f(u), u = g(x)가 미분가능할 때, 합성함수 y = f(g(x))도 미분가능하고, 다음 공식이 성립한다. y = f(u), u = g(x) ⇒ dy/dx = (dy/du)∘(du/dx), y = f(g(x)) ⇒ y' = f'(g(x))g'(x), // y = f(ax + b), y = {f(x)}ⁿ의 도함수 :: y = f(ax+b) ⇒ dy/dx = af '(ax+b), y = {f(x)}ⁿ ⇒ dy/dx = n{f(x)}⁽ⁿ⁻¹⁾f '(x) // 음함수의 미분법 :: 음함수 f(x, y) = 0의 각 항을 x에 관하여 미분함으로써 음함수의 도함수를 구할 수 있다. 이 때 다음 성질이 이용된다. d(yⁿ)/dx = d(yⁿ)/dy∘(dy/dx) = ny⁽ⁿ⁻¹⁾)dy/dx, y = √f(x) ⇒ y' = f '(x)/(2√f(x)), dy/dx = 1/(dx/dy), dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt), // 역함수의 미분법 :: 미분가능한 함수 f(x)의 역함수 g(x)가 존재하고 미분가능할 때 g'(x) = 1/f '(g(x)) (단, f '(g(x)) ≠ 0)
15, 접선의 방정식
미분계수의 접선의 기울기 :: 곡선 y = f(x)에서 (i) x좌표가 a인 점에서의 기울기 ⇒ f '(a), (ii) 임의의 점 x에서의 접선의 기울기 ⇒ f '(x), // 접선의 방정식 :: 1. 접선의 방정식을 구하는 방법 : (i) 접점의 좌표가 주어질 때는 ⇒ 먼저, 기울기를 구하여라. (ii) 기울기가 주어질 때는 ⇒ 먼저, 접점을 구하여라. (iii) 곡선 밖의 점이 주어질 때는 ⇒ 접점의 x좌표를 a로 놓아라. 2. 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식 : 곡선 y = f(x) 위의 점 P(x₁, y₁)에서, (i) 접선의 기울기 : tanα = f '(x₁), (ii) 접선의 방정식 : y - y₁ = f '(x₁)(x - x₁), 롤의 정리 :: 함수 f(x)가 폐구간[a, b]에서 연속이며, 개구간(a, b)에서 미분가능할 때, f(a) = f(b)이면, f'(c) = 0 (a < c < b)인 c가 적어도 하나 존재한다. 평균값의 정리 :: 함수 f(x)가 폐구간[a, b]에서 연속이며, 개구간(a, b)에서 미분가능할 때, {f(b) - f(a)}/(b - a) = f'(c) (a < c < b)인 c가 적어도 하나 존재한다. // 로피탈의 정리 :: 함수 f(x), g(x)가 a를 포함하는 구간에서 미분가능하고, f(a) = 0, g(a) = 0, g'(x) ≠ 0이며, x → a일 때 f'(x)/g'(x)의 극한값이 존재하면 lim(x→a)f(x)/g(x) = lim(x→a)f'(x)/g'(x)가 성립한다.
16, 함수의 그래프
함수의 증가, 감소의 정의 :: 함수 f(x)가 어떤 구간의 임의의 두 수 a, b에 대하여, a < b일 때 f(a) < f(b)이면 f(x)는 그 구간에서 증가한다고 하고, a < b일 때 f(a) > f(b)이면 f(x)는 그 구간에서 감소 한다고 한다. // 증가상태, 감소상태의 정의 :: 함수 f(x)에서 충분히 작은 모든 양수 h에 대하여 f(a - h) < f(a) < f(a + h)가 성립하면 f(x)는 x = a에서 증가상태에 있다고 하고, f(a - h) > f(a) > f(a + h)가 성립하면 f(x)는 x = a에서 감소상태에 있다고 한다. // f '(x)의 부호와 f(x)의 증가, 감소 :: 1. 함수 f(x)가 어떤 구간에서 미분가능하고, 그 구간에서 ① 항상 f '(x) > 0이면 f(x)는 그 구간에서 증가 한다. ② 항상 f '(x) < 0이면 f(x)는 그 구간에서 감소한다. ③ 항상 f '(x) = 0이면 f(x)는 상수이다. 2. 함수 f(x)에서, ① f '(a) > 0이면 f(x)는 x = a에서 증가상태에 있다. ② f '(a) < 0이면 f(x)는 x = a에서 감소상태에 있다. // 극대.극소와 f '(x) :: 1. 극대.극대값 : x = a에서 연속함수 f(x)가 증가상태에서 감소상태로 변하면, f(x)는 x = a에서 극대가 된다고 하고, f(a)를 극대값이라 한다. 2. 극소.극소값 : x = a에서 연속함수 f(x)가 감소상태에서 증가상태로 변하면, f(x)는 x = a에서 극소가 된다고 하고, f(a)를 극소값이라 한다. 3. 극값.극점 : 극대값과 극소값을 통틀어 극값 또는 극치라 한다. 그리고 함수의 그래프에서 극대가 되는점(α, f(α))를 극대점, 극소가 되는 점(β, f(β))를 극소점이라 하고, 극대점과 극소점을 통틀어 극점이라 한다. 4. f '(x)에 의한 극대.극소의 판정 : f '(a) = 0이고 x = a의 좌우에서 f '(x)의 부호가 (i)양(+)에서 음(-)으로 변하면 f(x)는 x = a에서 극대이다. (ii) 음(-)에서 양(+)으로 변하면 f(x)는 x = a에서 극소이다. // f ''(x)에 의한 극값의 판정 :: 함수 f(x)에서 f '(x), f ''(x) 가 존재할 때, 1. f '(a) = 0, f ''(a) < 0이면 ⇒ f(x)는 x = a에서 극대이다. 2. f '(a) = 0, f ''(a) > 0이면 ⇒ f(x)는 x = a에서 극소이다. 극대.극소 문제 ⇒ 증감표를 만들어라. // 곡선의 요철과 변곡점 :: 1. f ''(x) > 0인 구간에서 곡선 y = f(x)는 아래로 볼록하다. 2. f ''(x) < 0인 구간에서 곡선 y = f(x)는 위로 볼록하다. 3. f ''(x) = 0이고, x = a의 좌우에서 f ''(x)의 부호가 바뀌면 점(a, f(a))는 곡선 y = f(x)의 변곡점이다. // 곡선의 개형을 그리는 방법 :: ① x축, y축, 원점 등에 관한 대칭성이 있는가를 조사한다. ② 곡선이 존재하는 범위를 구한다(정의역과 치역을 구한다). ③ 곡선과 좌표축과의 교점이 쉽게 구해지면 그것을 구한다. ④ 도함수를 구하여 함수의 증감, 극대, 극소 등을 조사한다. ⑤ 곡선에 따라서는 이계도함수를 구하여 곡선의 오목, 복록, 변곡점등을 조사한다. ⑥ 곡선의 점근선이 있는가를 조사한다. y'을 이용하여 증감을 조사, y''을 이용하여 요철을 조사! 분수함수의 그래프의 개형:(i)불연속이 있는가를 조사, (ii)점근선이 있는가를 조사, // 구간에서의 함수의 최대값, 최소값 :: 함수 f(x)가 폐구간[a, b]에서 연속일 때, f(x)의 최대값, 최소값을 다음과 같이 구한다. (i) 구간[a, b]에서의 모든 극대값, 극소값을 구한다. (ii) 구간의 양 끝값 에서의 함수값 f(a), f(b)를 구한다. (iii) 위의 (i),(ii)의 값들의 크기를 비교한다. 최대값은 ⇒ {f(x)의 모든 극대값, f(a), f(b)}중에서 최대인 것}, 최소값은 ⇒ {f(x)의 모든 극소값, f(a), f(b)}중에서 최소인 것}, 또한, 구간이 반폐구간(a, b]일 때에는 f(a)가 존재하지 않고, 반폐구간[a, b)일 때에는 f(b)가 존재하지 않으며, 개구간(a, b)일 때에는 f(a), f(b)가 존재하지 않는다.
17, 도함수의 활용
방정식의 실근의 개수 :: 1. 방정식의 실근의 개수와 함수의 그래프 : (i) 방정식 f(x) = 0의 실근은 함수 y = f(x)의 그래프와 x축과의 공유점의 x좌표를 나타낸다. (ii) 방정식 f(x) = g(x)의 실근은 함수 y = f(x), y = g(x)의 그래프의 공유점의 x좌표를 나타낸다. 삼차함수 f(x)가 극값을 가질 때, 삼차방정식 f(x) = 0의 실근은 ➀ (극댓값) × (극솟값) < 0 ➩ 서로 다른 세 실근 ➁ (극댓값) × (극솟값) = 0 ➩ 한 실근과 중근 ➂ (극댓값) × (극솟값) > 0 ➩ 한 실근과 서로 다른 두 허근 // 2. 방정식 F(x) = 0의 실근의 개수를 조사하는 방법 :: (i) 함수 y = F(x)와 x축과의 공유점의 개수를 조사하거나, (ii) 방정식 F(x) = 0을 f(x) = g(x)의 꼴로 변형하여 두 함수 y = f(x), y = g(x)의 그래프의 공유점의 개수를 조사하면 된다. // 부등식의 증명 요령 :: 구간(a, ∞)에서 f(x) > 0임을 증명하려면 다음 중 어느 한 가지를 보이면 된다. (i) x > a에서 f(x)의 최소값이 양인 것을 보인다. (ii) x > a에서 f(x)가 증가함수이고, f(a) ≥ 0임을 보인다. 이를테면 f '(x) > 0, f(a) ≥ 0임을 보인다. 속도와 가속도 :: 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 x가 x = f(t)일 때, 시각 t에서의 점 P의 속도 v, 가속도 a는 i) v = dx/dt = f '(t), ii) a = dv/dt = v'(t) = f ''(t)
18, 부정적분
부정적분(원시함수)의 정의 :: 함수 f(x)가 주어져 있을 때, F '(x) = f(x)인 함수 F(x)를 f(x)의 부정적분 또는 원시함수라 한다. 함수 f(x)의 부정적분의 하나를 F(x)라 할 때, f(x)의 임의의 부정적분은 F(x) + C의 꼴로 나타내어지며, 이것을 ∫f(x)dx = F(x) + C (C는 임의의 상수)로 나타낸다. 곧, F '(x) = f(x) ⇔ ∫f(x)dx = F(x) + C, 여기에서 C를 적분상수, 함수 f(x)를 피적분함수, x를 적분변수라 하고, f(x)의 부정적분을 구하는 것을 f(x)를 적분한다고 한다. // 부정적분의 기본공식 :: ① ∫kdx = kx + C (k는 상수), ② ∫xⁿdx = 1/(n+1)∘xⁿ⁺¹ + C (n ≠ -1), n = -1일 때에는 ∫(1/x)dx = ln|x| + C, ③ ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (k는 상수), ④ ∫{f(x) ± g(x)}dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx, // 부정적분과 미분의 관계 :: 함수 f(x)에 대하여 ➀ (d/dx)[∫f(x)dx] = f(x), ➁ ∫[df(x)/dx]dx = f(x) + C (단, C는 적분상수)
19, 정적분
구분구적법 :: 주어진 평면도형의 넓이나, 입체의 부피를 구하기 위하여, (i) 주어진 도형을 충분히 작은 n개의 기본도형으로 세분하여, 이 기본 도형의 모임으로 그 도형의 넓이 또는 부피의 근사값을 구한다. (ii) 이 근사도형의 넓이나 부피에서 n → ∞ 일 때의 극한을 생각한다. 이와같이 하여 넓이나 부피를 구하는 방법을 구분구적법이라 한다. // 정적분의 정의 :: 함수 f(x)가 폐구간[a, c]에서 연속일 때, lim(n→∞)Σ₁ⁿ f(xₖ)∘⊿x, (단, ⊿x = (c - a)/n )을 f(x)의 a에서 c까지의 정적분이라 하고, ∫ₐᶜ f(x)dx로 나타낸다. 곧, ∫ₐᶜ f(x)dx = lim(n→∞)Σ₁ⁿ f(xₖ)∘⊿x, 또한, ∫ₐᶜ f(x)dx 의 값을 구하는 것을 f(x)을 a에서 c까지 적분한다고 하며, a와 c를 각각 정적분의 아래끝, 위끝이라 한다. // 정적분의 기본 정리 :: ∫f(x)dx = F(x) + C라 할 때, ∫ₐᶜ f(x)dx = [F(x)]ₐᶜ = F(c) - F(a), 정적분에 관한 기본 정의 :: (i) ∫ₐª f(x)dx = 0, (ii) h > a일 때, ∫ₐʰ f(x)dx = -∫ₕªf(x)dx // 정적분의 기본공식 :: ① ∫ₐᶜ kf(x)dx = k∫ₐᶜ f(x)dx(k는 상수), ② ∫ₐᶜ {f(x) ± g(x)}dx = ∫ₐᶜf(x)dx ± ∫ₐᶜ g(x)dx, ③ ∫ₐᶜ f(x)dx = ∫ₐʰ f(x)dx + ∫ₕᶜf(x)dx, // 정적분의 치환적분법 :: 함수 f(t)는 구간[h, s]에서 연속, t = g(x)는 연속인 도함수를 갖고, g(a) = h, g(c) = s이면, ∫ₐᶜf(g(x))g '(x)dx = ∫ₕˢ f(t)dt, 정적분의 부분적분법 :: ∫ₐᶜ f '(x)g(x)dx = [f(x)g(x)]ₐᶜ - ∫ₐᶜ f(x)g '(x)dx, ∫ₐᶜ u'vdx = [uv]ₐᶜ - ∫ₐᶜ uv'dx, (단, u = f(x), v = g(x)), // 정적분으로 정의된 함수의 미분 :: (i) (d/dx)∫ₐˣ f(t)dt = f(x) (a는 상수), (ii) (d/dx)∫ₓ⁽ˣ⁺ª⁾ f(x)dx = f(x + a) - f(x)(a는 상수), // 정적분과 무한급수와의 관계 1 :: 연속함수 f(x)에 대하여, (i) lim(n→∞)Σ₁ⁿ f(a + (c - a)∘k/n)∘(c - a)/n = ∫ₐᶜf(x)dx, (ii) lim(n→∞)Σ₁ⁿ f(a + s/n∘k)∘s/n = ∫ₐ⁽ª⁺ˢ⁾ f(x)dx, // 정적분과 무한급수와의 관계 2 :: 연속함수 f(x)에 대하여, lim(n→∞)Σ₁ⁿf(a + s/n∘k)∘1/n = ∫₀¹f(a + sx)dx, lim(x→a)(1/(x - a))∫ₐˣ f(t)dt = f(a) (단, a는 상수), lim(x→0)(1/x)∫ₓ⁽ª⁺ˣ⁾ f(t)dt = f(a) (단, a는 상수),
20, 정적분의 활용
x축과 곡선 사이의 넓이 :: 1. 구간[a, c]에서 f(x) ≥ 0인 경우, S = ∫ₐᶜf(x)dx, 2. 구간[a, c]에서 f(x) ≤ 0인 경우, S = -∫ₐᶜf(x)dx, 3. 구간[a, c]에서 일반적인 경우, S = ∫ₐᶜ|f(x)|dx, // y축과 곡선 사이의 넓이 :: 1. 구간[a, c]에서 f(y) ≥ 0인 경우, S = ∫ₐᶜ f(y)dy, 2. 구간[a, c]에서 f(y) ≤ 0인 경우, S = -∫ₐᶜ f(y)dy, 3. 구간[a, c]에서 일반적인 경우, S = ∫ₐᶜ|f(y)|dy, // 두 곡선 사이의 넓이 :: 1.구간[a, c]에서 f(x) ≥ g(x)일 때, S = ∫ₐᶜ {f(x) - g(x)}dx, 2. 구간[a, c]에서 f(y) ≥ g(y)일 때, S = ∫ₐᶜ{f(y) - g(y)}dy, ∫ₐᶜ p(x - a)(x - c)dx = (-p/6)∘(c - a)³, // 속도.거리와 적분직선 위의 운동 :: 직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에 있어서의 속도 v가 v = f(t)로 주어질 때, t = a일때부터 t = c일 때까지 점 P가 움직이면, 점 P의 위치의 변화(벡터)량 ⇒ ∫ₐᶜf(t)dt, 점 P의 운동 거리(스칼라) = ∫ₐᶜ |f(t)|dt, // 평면 위의 점의 운동거리 :: 평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치가 x = f(t), y = g(t)로 주어질 때, 점 P의 t = a부터 t = c까지의 운동거리 l은, l = ∫ₐᶜ|û|dx = ∫ₐᶜ √{(dx/dt)² + (dy/dt)²}dt (a ≤ c) // 곡선의 호의 길이 :: 1. 곡선 x = f(t), y = g(t)의 구간 a ≤ t ≤ c부분의 호의 길이 l은 l = ∫ₐᶜ √{(dx/dt)² + (dy/dt)²}dt = ∫ₐᶜ √[{f '(t)}² + {g '(t)}²]dt, 2. 곡선 y = f(x)의 구간 a ≤ x ≤ c 부분의 호의 길이 l은 l = ∫ₐᶜ √{1 + (dy/dx)²}dx = ∫ₐᶜ √{1 + (f '(x))²}dx,
21, 중복순열과 같은 것이 있는 순열
중복순열의 수와 ₙ∏ᵣ :: 서로 다른 n개의 원소에서 중복을 허락하여 r개를 택하여 일렬로 배열한 것을 n개에서 r개 택한 중복순열이라 한다. 또, 이 중복순열의 수를 ₙ∏ᵣ로 나타내며 ₙ∏ᵣ = n ʳ로 계산한다. X = {a₁, a₂, a₃, ... ,aᵣ}, Y = {b₁, b₂, b₃ ... bₙ}일 때, X에서 Y로의 함수의 개수는 ⇒ ₙ∏ᵣ, X에서 Y로의 일대일 함수의 개수는 ⇒ ₙPᵣ (단, n ≥ r), 특히, n = r일 때, X에서 Y로의 일대일 대응의 개수는 ⇒ ₙPᵣ = n!, // 같은 것을 포함한 경우의 순열 :: a,a,a,...,a,b,b,b,...b,c,d의 순열의 수 ⇒ n!/(p! × q!)(a는 p개 b는 q개임),
22, 중복조합과 이항정리
중복조합 :: 서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 s개를 택하는 조합, ; 중복조합의 수 :: ₙHₛ = ₙ₊ₛ₋₁Cₛ // 이항정리, 이항정리의 일반항, 이항계수 :: n이 양의 정수일 때, (a + b)ⁿ을 전개하면, (a + b)ⁿ = ₙC₀aⁿ + ₙC₁a⁽ⁿ⁻¹⁾b + ₙC₂a⁽ⁿ⁻²⁾b² + ... + ₙCₛa⁽ⁿ⁻ˢ⁾∘bˢ + ... + ₙCₙbⁿ, 이것을 이항정리라 하고, ₙCₛa⁽ⁿ⁻ˢ⁾∘bˢ을 일반항, ₙC₀, ₙC₁, ₙC₂,...,ₙCₙ을 이항계수라 한다. 또, 일반항을 써서 이항정리를 나타내면, (a + b)ⁿ = Σ₀ⁿ ₙCₛa⁽ⁿ⁻ˢ⁾∘bˢ, // 이항계수의 성질 :: 1. (1 + x)ⁿ의 전개식 (1 + x)ⁿ = ₙC₀ + ₙC₁x + ₙC₂x² +... + ₙCₙxⁿ = Σ₀ⁿ ₙCₛxˢ, 2. 이항계수의 성질, ① ₙC₀ + ₙC₁ + ₙC₂ + ... + ₙCₙ = 2ⁿ, ② ₙC₀ - ₙC₁ + ₙC₂ + ... +(-1)ⁿₙCₙ = 0, ③ ₙC₀ + ₙC₂ + ₙC₄ +...(홀수 번째 계수의 합)= 2⁽ⁿ⁻¹⁾, ④ ₙC₁ + ₙC₃ + ₙC₅ + ...(짝수 번째 계수의 합) = 2⁽ⁿ⁻¹⁾ (a + b + c)ⁿ의 전개식에서, aʰ∘bʳ∘cˢ의 계수는 ⇒ n!/(h!r!s!)(단,h + r + s = n) // 파스칼 삼각형 :: i) 각 단계의 양 끝수는 1이다. ii) 각 단계의 수의 배열은 좌우 대칭이다. iii) 각 단계의 이웃하는 두 수의 합은 다음 단계의 두 수의 중앙의 수와 같다. ₙ₋₁Cₛ₋₁ + ₙ₋₁Cₛ = ₙCₛ(인접한 두 항 사이)
23, 확률의 개념과 활용
시행 : 동일한 조건 아래에서 반복할 수 있고, 또 그 결과가 우연에 의해서 지배되지만, 가능한 모든 결과의 집합을 알 수 있는 관찰, 조사, 실험, 표본공간(집합) : 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 가능한 결과의 집합, 사건 : 표본공간의 부분집합, 근원사건 : 표본공간의 한 개의 원소로 이루어진 사건, 전사건(반드시 일어나는 사건) : 표본공간 자신의 집합, 공사건(결코 일어나지 않는 사건) : 공집합 Ø에 대응되는 사건, 합사건(A⋃B) : 두 사건 A, B에 대하여 A또는 B가 일어나는 사건, 곱사건(A⋂B) : 두 사건 A, B에 대하여 A와 B가 동시에 일어나는 사건, 배반사건(A⋂B = Ø) : A, B중에 한 쪽이 일어나면 다른 쪽은 일어나지 않는사건, 여사건(Aᶜ) : 사건 A에 대하여 A가 일어나지 않는 사건, // 확률의 정의 :: 어떤 시행에서 표본공간의 원소의 개수를 n(S)라 하고, 개개의 근원사건이 일어나는 것이 같은 정도로 확실할 때, 사건 A의 원소의 개수를 n(A)라 하면 사건 A가 일어날 확률 P(A)는 P(A) = n(A)/n(S) = (A에 속하는 근원사건의 개수)/(근원사건의 총 개수), 이와 같이 정의된 확률을 특히 수학적 확률이라 한다. // 확률이 1인 것과 0인 것의 의미 :: 1. 임의의 사건 A에 대하여 0 ≤ P(A) ≤ 1, 2. 임의의 사건 A에 대하여 P(A) = 1 ⇔ A가 반드시 일어난다. 3. 임의의 사건 A에 대하여 P(A) = 0 ⇔ A가 결코 일어나지 않는다. // 통계적 확률 :: 같은 시행을 n번 반복하여 사건 A가 일어난 횟수를 r이라 할 때, n을 충분히 크게 하면 상대도수 r/n은 일정한 값 p에 가까워진다. 이 p를 사건 A가 일어날 통계적 확률 또는 경험적 확률이라 한다. 즉,lim(n→∞)r/n = P(A), // 기하학적 확률 :: 연속적인 변량 a, b를 크기로 갖는 영역 A, B가 있어 점 P는 이 영역 A속의 어느점이든 같은 정도로 잡을 수 있다고 하자. 이제 영역 B가 영역 A에 포함되어 있을 때, 영역 A에서 임의로 잡은 점 P가 영역 B에 속할 확률은 b/a라 정한다. 곧, P(A) = (A가 일어나는 영역의 크기)/(일어날 수 있는 전 영역의 크기) // 확률의 덧셈정리 :: 표본공간 S의 두 사건 A, B에 대하여 i) 두 사건 A 또는 B가 일어날 확률은 P(A⋃B) = P(A) + P(B) - P(A⋂B), ii) 두 사건 A와 B가 서로 배반사건이면 P(A⋃B) = P(A) + P(B) // 여사건의 확률 :: 표본공간 S의 사건 A에 대하여 여사건 Aᶜ의 확률은 P(Aᶜ) = 1 - P(A)
24, 조건부확률
조건부확률 :: 확률이 0이 아닌 두 사건 A, B에 대하여 사건 A가 일어났다고 가정했을 때 사건 B가 일어날 확률을 사건 A가 일어났을 때의 사건 B의 조건부확률이라 하고, P(B|A)로 나타낸다. 위의 정의에 의하여 P(B|A) = P(A⋂B)/P(A)이 성립하여, P(A) > 0, P(B) > 0일 때, P(A⋂B) = P(A)∘P(B|A) = P(B)∘P(A|B), // 독립사건과 종속사건 :: 1. 두 사건 A, B에 대하여 사건 A가 일어날 경우와 사건 A가 일어나지 않을 경우에 따라 사건 B가 일어날 확률이 달라질 때 곧, P(B|A) ≠ P(B|Aᶜ)일 때, 사건 A와 B는 종속이다 또는 종속사건이라 한다. 2. 두 사건 A, B에 대하여 사건 A가 일어나 든, 사건 A가 일어나지 않든, 사건 B가 일어날 확률이 달라지지 않을 때, 곧, P(B|A) = P(B|Aᶜ) = P(B)일 때, 사건 A와 B는 독립이다. 또는 독립사건이라 한다. 3. 특히 사건 A와 B가 독립일 때에는 사건 A와 B가 독립 ⇔ P(A⋂B) = P(A)∘P(B)곱셈정리가 성립한다. 즉, 두 사건 A, B가 독립이기 위한 필요충분조건은 P(A⋂B) = P(A)∘P(B)이다. // 독립시행의 정리 :: 동일한 시행을 반복할 때, 각 시행의 결과가 서로 독립일 경우(동전, 주사위 던지기등), 이러한 시행을 독립시행이라 한다. 어떤 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 p 이고, 일어나지 않을 확률이 q( = 1 - p)라 할 때, 이 시행을 독립적으로 n회 반복하는 시행에서 사건 A가 s회 일어날 확률 Pₛ은 Pₛ = ₙCₛpˢ∘q⁽ⁿ⁻ˢ⁾(단, p + q = 1, s = 0, 1, 2, ..., n)이다.
25, 이산확률변수의 확률분포
확률변수 :: 어떤 시행에서 표본공간 S의 각 원소에 단 하나의 실수를 대응시키는 관계를 확률변수라 하고, 확률변수 X가 어떤값 x를 가질 확률을 기호로 P(X = x)와 같이 나타낸다. 확률분포 :: 확률변수 X가 갖는 값과 X가 이 값을 가질 확률의 대응 관계를 X의 확률분포라 한다. 이산확률변수 :: 확률변수가 가질 수 있는 값이 유한개이거나 무한이 많더라도 자연수와 같이 일일이 셀 수 있을 때, 그 확률변수를 이산확률변수라 한다. 확률분포 :: 변수 X가 취할 수 있는 값이 x₁, x₂, x₃..., xₙ이고, X가 이들 값을 취할 확률 p₁, p₂, p₃, ..., pₙ 이 정해져 있을 때, 이 변수 X를 확률변수라 하고, 확률변수 X가 취하는 값 xᵢ와 X가 xᵢ를 취할 확률 pᵢ의 대응관계를 확률변수 X의 확률분포(확률질량함수)라 한다. 이 때 이 대응관계는 P(X = xᵢ) = pᵢ (단, i = 1, 2, 3,..., n)과 같은 식으로 나타낼 수도 있다. // 확률분포의 성질 :: 확률분포 P(X = xᵢ) = pᵢ (단, i = 1, 2, 3, ..., n)에 있어서, 1. 0 ≤ P(X = xᵢ ) ≤ 1, 2. Σ₁ⁿ P(X = xᵢ) = 1, 3. P(X = xᵢ or X = xj) = P(X = xᵢ) + P(X = xj)(단,i ≠ j), // 확률변수의 평균 :: 확률변수 X의 변량 x₁, x₂, x₃, ..., xₙ에 대응하는 확률이 각각 p₁, p₂,..., pₙ일 때, Σ₁ⁿ xᵢpᵢ = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + xₙpₙ을 X의 평균 또는 기대값이라 하고, m또는 E(X)로 나타낸다. // 확률변수의 분산과 표준편차 :: 확률변수 X의 평균이 m일 때, (X - m)²의 평균 E((X - m)²)을 X의 분산이라 하고, V(X)또는 σ²(X)로 나타낸다. 또, 분산의 음이 아닌 제곱근을 표준편차라 하고, D(X)또는 σ(X)로 나타낸다. 곧, 분 산 : V(X) = Σ₁ⁿ(xᵢ - m)²pᵢ = (x₁ - m)²p₁ + (x₂ - m)²p₂ + ... + (xₙ - m)²pₙ, 표준편차 : σ(X) = √V(X) = √{Σ₁ⁿ(xᵢ - m)²pᵢ}, // 평균, 분산, 표준편차의 성질 :: 1. V(X) = E(X²) - {E(X)}², 2. E(aX + b) = aE(X) + b, 3. V(aX + b) = a²V(X), 4. σ(aX + b) = |a|σ(X), // 이항분포의 정의 :: 어떤 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 p라 한다. 이 시행을 n회 독립으로 반복할 때, 사건 A가 일어날 횟수를 확률변수 X라 하면 X의 확률분포(확률질량함수)가 0, 1, 2,..., s,..., n에 대해, ₙC₀p⁰∘qⁿ, ₙC₁p¹∘q⁽ⁿ⁻¹⁾, ₙC₂p²∘q⁽ⁿ⁻²⁾,...,ₙCₛpˢq⁽ⁿ⁻ˢ⁾,...,ₙCₙpⁿ∘q⁰이고(단,p + q = 1), 이 분포를 식으로 나타내면 다음과 같다. P(X = s) = ₙCₛpˢq⁽ⁿ⁻ˢ⁾(단, s= 0, 1, 2, ..., n)이와 같은 확률분포를 특히 이항분포라 하고, B(n,p)로 나타낸다. // 이항분포의 평균, 분산, 표준편차 :: 확률변수 X 가 이항분포 B(n, p)를 따를 때, X의 평균, 분산, 표준편차는 다음과 같다. E(X) = np, V(X) = npq, σ(X) = √(npq)(단, q = 1 - p)
26, 연속확률변수의 확률분포
연속확률변수와 확률밀도함수 :: 변수 X가 구간[α, β]의 모든 값을 가지고, f(x)가 구간[α, β]를 정의역으로 하는 함수로서 조건 (i) f(x) ≥ 0, (ii) 구간[α, β]에서 f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 1이다. (iii) 변수 X가 구간[a, b](단,α ≤ a ≤ b ≤ β)에 속할 확률 'P(a ≤ X ≤ b)는 구간[a, b]에서 f(x)의 그래프와 x축 사이의 넓이와 같다'를 만족시킬 때, 변수 X를 연속확률변수 또는 연속변수라 하고 함수 f(x)를 X의 확률밀도함수, 곡선 y = f(x)를 분포곡선이라 한다. // 연속확률변수의 평균과 분산 :: 연속확률변수 X가 구간[α, β]의 모든 값을 가지고, 그 확률밀도함수가 f(x)일 때, X의 평균과 분산은 다음과 같이 정한다. 1. 평균 E(X) : 구간[α, β]에서 함수 xf(x)와 그래프와 x축 사이의 넓이이다. 2. 분산 V(X) : 구간[α, β]에서 함수 (x - m)²f(x)의 그래프와 x축 사이의 넓이이다. 단, m = E(X)이다. // 정규분포의 성질 :: 확률변수 X의 확률밀도함수 f(x)가 f(x) = 1/(√(2π)σ)∘e⁻⁽ˣ⁻𝆐⁾²ᐟ⁽²º²⁾(-∞ < x < ∞),으로 주어질 때, X의 확률분포를 정규분포라 하고,N(m, σ²)으로 나타낸다. 정규분포는 다음과 같은 성질이 있다. ① 임의의 실수 x에 대해 f(x) > 0이다. ② 곡선은 직선 x = m에 대해 대칭이다. ③ 곡선과 x축 사이의 넓이는 1이다. ④ X가 구간[a, b]에 속할 확률 P(a ≤ X ≤ b)는 구간[a, b]에서 곡선과 x축 사이의 넓이와 같다. ⑤ X의 평균은 m이고, 분산은 σ²이다. 곧, E(X) = m, V(X) = σ²이다. m의 값이 바뀌면 대칭축의위치가 바뀐다. σ 의 값이 커지면 그래프의 가운데 부분의 높이가 낮아지고 양쪽으로 넓게 퍼진다. // 표준정규분포 :: i) 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포 N(0, 1)을 표준정규분포라 한다. ii) 확률변수 Z가 표준정규분포N(0, 1)을 따를 때, Z의 확률밀도함수는 f(z) = 1/√(2π)∘e⁻ᶻ²ᐟ² 이고, y축을 대칭 축으로 가지는 종모양의 그래프이다. 정규분포와 확률 :: 확률변수 X가 (i) m - σ < X < m + σ = 0.6826, (ii) m - 2σ < X < m + 2σ = 0.9544, (iii) m - 3σ < X < m + 3σ = 0.9974,확률이다. // 확률변수의 표준화 :: 확률변수 X가 정규분포 N(m, σ²)을 따를 때, 확률변수 Z = (X - m)/σ은 표준정규분포 N(0, 1²)을 따른다. P(a ≤ X ≤ b) = P((a - m)/σ ≤ Z ≤ (b - m)/σ) // n이 충분히 클 때 이항분포 B(n, p)를 ⇒ 정규분포 N(np, npq)로 근사!
27, 통계적 추정
모집단 :: 통계 조사에서 조사의 대상이 되는 집단 전체, 표본 :: 모집단에서 뽑은 일부분, 전수조사 :: 모집단 전체를 조사하는 것, 표본조사 :: 모집단의 일부를 택하여 조사하는 것, 표본의 크기 :: 표본조사에서 뽑은 표본의 개수, 추출 :: 모집단에서 표본을 뽑는 것, 임의추출 :: 표본을 추출할 때, 모집단에 속하는 각 대상이 같은 확률로 추출되도록 하는 방법, 비복원추출 ::추출된 대상을 되돌려 놓지 않고 다시 추출하는 방법, 표본평균의 평균과 분산 :: 1. 모평균과 표본평균 : 모집단의 분포에서 확률변수 X의 평균, 분산, 표준편차를 각각 모평균(m), 모분산(σ²), 모표준편차(σ)라 한다. 또, 어떤 모집단에서 크기 n인 표본을 추출 하는 경우, 추출된 n개의 변량을 각각 X₁, X₂,...,Xₙ이라 할 때 이들의 평균 Ẍ = (1/n)∘(X₁ + X₂ +...+ Xₙ)을 표본평균이라 한다. 이 때 Ẍ는 확률변수이다. 2. 표본평균의 평균과 분산 : 모평균 m, 모분산 σ²인 모집단에서 크기 n인 표본을 복원추출할 때, 표본평균 Ẍ에 대하여 다음 성질이 알려져 있다. E(Ẍ) = m, V(Ẍ) = σ²/n, σ(Ẍ) = σ/√n, // 표본평균의 분포 :: 평균 m, 분산 σ²인 모집단에서 크기 n인 표본을 임의추출할 때, 1. 모집단의 분포가 정규분포이면 표본평균 Ẍ는 정규분포 N(m, σ² / n)을 따른다. 2. 모집단의 분포가 정규분포가 아닐 때에도 n이 충분히 크면 표본평균 Ẍ는 근사적 으로 정규분포 N(m, σ²/n)을 따른다. 추정 :: 표본으로부터 얻은 정보를 이용하여 모평균(m), 모분산(σ²), 모표준편차(σ)등과 같이 모집단의 특성을 나타내는 값을 추측하는 것, // 모평균의 추정과 신뢰도 :: 모집단의 분포가 정규분포 N(m, σ²)을 따를 때, 모평균 m은 다음 범위에 있다. 단, Ẍ는 표본평균, n은 표본의 크기, σ는 모표준편차(또는 표본표준편차)이다. 95%의 신뢰도로서 Ẍ - 1.96∘σ/√n ≤ m ≤ Ẍ + 1.96∘σ/√n, 99%의 신뢰도로서 Ẍ - 2.56∘σ/√n ≤ m ≤ Ẍ + 2.56∘σ/√n, 모비율 :: 모집단에서 어떤 사건에 대한 비율을 그 사건의 모비율이라 하며, 기호로 p로 나타낸다. 표본비율 :: 모집단에서 임의추출한 표본에서 어떤 사건에 대한 비율을 그 사건의 표본비율이라 하고, 기호로 Ṗ으로 나타낸다. 일반적으로 크기가 n인 표본에서 어떤 사건이 일어나는 횟수를 확률변수 X라 할 때, 그 사건의 표본비율은 Ṗ = X/n 이다. // 표본비율의 평균, 분산, 표준편차 :: 모비율이 p인 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출할 때, 표본비율 Ṗ의 평균, 분산, 표준편차는 (단, q = 1 - p), E(Ṗ) = p, V(Ṗ) = (pq)/n, σ(Ṗ) = √{(pq)/n}, 표본비율의 분포 :: 모비율이 p인 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의 추출할 때, n이 충분히 크면 표본비율 Ṗ은 근사적으로 정규분포 N(p, pq/n)를 따르고, 확률변수 Z = (Ṗ - p)/√{(pq)/n}는 근사적으로 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. (단, q = 1 - p) // 모비율의 추정과 신뢰도 :: 모집단에서 크기 n의 표본을 임의로 추출할 때, 표본비율을 Ṗ라하면, m이 충분히 클때, 모비율 p는 다음 범위에 있다. 95%의 신뢰도로서 Ṗ-1.96∘√{(Ṗ(1-Ṗ))/n} ≤ p ≤ Ṗ + 1.96∘√{(Ṗ(1-Ṗ))/n}, 99%의 신뢰도로서 Ṗ - 2.56∘√{(Ṗ(1-Ṗ))/n} ≤ p ≤ Ṗ + 2.56∘√{(Ṗ(1-Ṗ))/n},
평면도형의 성질
평행선의 성질 : 정리1. 평행한 두 직선이 한 직선과 만날 때 1). 동위각의 크기가 같다. 2). 엇각의 크기가 같다. 또, 각각의 역도 성립한다. 정리2. 평행한 두 직선의 안쪽에 있는 두 개의 내각의 합은 180도 이다. 삼각형과 다각형의 외각 내각 : 정리3. 삼각형의 한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다. 정리4. n각형의 내각의 크기의 합은 (n - 2) × 180도이고, 외각의 크기의합은 360도이다. 이등변삼각형의 성질 : 정리5. 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. 역도 성립한다. 정리6. 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑면을 수직이등분한다. 역도 성립한다. 정리7. 삼각형의 합동조건 : 두 삼각형이 다음 중 어느 한 조건을 만족시키면 합동이다. 1). 대응하는 세 변의 길이가 같다. 2). 대응하는 두 변의 길이와 그 사이각의 크기가 같다. 3). 대응하는 한 변의 길이와 양 끝각의 크기가 같다. 삼각형의 외심, 내심, 수심 : 정리8. △ABC의 외접원의 중심 O를 외심이라 한다. 이 때, 1). 점 O는 세 변의 수직이등분선의 교점이다. 2). 점 O에서 세 꼭지점에 이르는 거리가 같다. 정리9. △ABC의 내접원의 중심 I를 내심이라 한다. 이 때, 1). 점 I는 세 꼭지각의 이등분선의 교점이다. 2). 점 I에서 각 변에 이르는 거리가 같다. 정리 10. △ABC의 각 꼭지점에서 대변에 내린 수선은 한 점에서 만난다. 이를 수심이라 한다. 평행사변형과 여러 가지 사각형의 성질 : 정리11. □ABCD는 평행사변형이다. ⇔ 두 쌍의 대변이 평행하다.(정의) ⇔ 두 쌍의 대변의 길이가 같다. ⇔ 두 쌍의 대각의 크기가 같다. ⇔ 두 대각선이 서로 이등분한다. ⇔ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다. 정리 12. □ABCD가 마름모이다. ⇔ 네 변의 길이가 같다.(정의) ⇔ 두 대각선이 서로 수직이등분한다. 정리 13. □ABCD가 직사각형이다 ⇔ 네 각의 크기가 같다.(정의) ⇔ 두 대각선의 길이가 같고, 서로 이등분한다. 닮은비 : 정리 14. 닮은비가 m : n인 두 평면도형의 넓이의 비는 m² : n²이고, 닮은비가 m : n인 두 입체도형의 부피의 비는 m³ : n³이다. 평행선과 삼각형 : 정리 15. △ABC에서 변 BC에 평행한 직선이 변 AB, AC또는 그 연장선과 만나는 점을 각각 D, E라 하면 AD/AB = AE/AC = DE/BC, 역도 성립한다. 정리 16. 삼각형의 중점연결 정리 △ABC에서 변 AB, AC의 중점을 각각 D, E라 하면 1). DE ∕∕ BC, 2DE = BC, 2). 점 D를 지나 변 BC에 평행한 직선은 점 E를 지난다. 무게중심 : 정리 17. △ABC의 세 중선은 한 점에서 만나며, 이 점을 무게중심이라 한다. 1). 무게중심 G는 중선을 꼭지점으로부터 2 : 1로 내분한다. 2). △ANG = △BNG = △BLG = △CLG = △CMG = △AMG, 직각삼각형의 성질 : 정리 18. △ABC가 ∠A = 90도인 직각삼각형이고 A에서 변BC에 내린 수직선이 만나는 점을 D라할 때, 1). △ABC ∝ △DBA ∝ △DAC, 2). AB∘AC = BC∘AD, AD² = BD∘DC, AB² = BD∘BC, AC² = CD∘CB, 정리 19. △ABC의 변 BC의 중점 M에 대하여 AM = BM = CM이면 △ABC는 ∠A=90도인 직각삼각형이다. 피타고라스의 정리 : 정리 20. △ABC에서 ∠A=90도이면 AB² + AC² = BC², 역도 성립한다. 각의 이등분선에 관한 성질 : 정리 21. △ABC에서 ∠A의 이등분선이 변BC와 만나는 점을 D라 하면, AB : AC = BD : DC, 역도 성립한다. 정리 22. ∠A의 외각의 이등분선이 변BC의 연장선과 만나는 점을 D라 하면, AB : AC = BD : DC, 역도 성립한다. 현과 호 : 정리 23. 한 원 또는 합동인 두 원에 서, 크기가 같은 두 중심각에 대한 현의 길이와 호의 길이는 각각 같다. 정리 24. 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분한다. 또, 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다. 원과 접선 : 정리 25. 원의 접선은 그 접점을 한 끝점으로 하는 반지름에 수직이다. 역으로 반지름의 끝점을 지나고 반지름에 수직인 직선은 원의 접선이다. 정리 26. 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같 다. 그리고, 이 점과 접선이 이루는 각의 한 이등분선은 원의 중심을 지난다. 정리 27. □ABCD가 원에 외접할 때, AB + CD = BC + AD, 중심각과 원주각 : 정리 28. 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 1/2과 같다. 정리 29. 현 AB에 대한 활꼴 APB에 대하여 점 Q가 활꼴의 내부에, 점 R이 활꼴의 외부에 있을 때, ∠ARB < ∠APB < ∠AQB가 성립한다. 정리 30. 선분 AB 를 지름으로 하는 원 위에 점 P가 있을 때, ∠APB = 90도이다. 또, 점 Q가 활꼴 APB의 내부에, 점 R이 활꼴 APB의 외부에 있을 때, ∠ARB < 90도, ∠AQB > 90도가 성립한다. 원과 사각형 : 정리 31. 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180도이다. 또, 한 외각의 크기는 그 대내각의 크기와 같다. 역도 성립한다. 원과 비례 : 정리 32. 원 위의 한 점에서 그 원에 그은 접선 과 그 점을 한 끝점으로 하는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 안쪽에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 정리 33. 원의 두 현 AB, CD 또는 이들의 연장선의 교점을 P라 하면 PA∘PB = PC∘PD 가 성립한다. 정리 34. 원 밖의 한 점 P에서 그은 접선과 할선이 원과 만나는 점을 각각 T, A, B라 할 때, PT² = PA∘PB가 성립한다. 네 점이 한 원 위에 있을 조건 : 정리 35. 두 선분 AB, CD가 만날 때, ∠DAB = ∠DCB이면 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다. 정리 36. 두 선분 AB, CD또는 이들의 연장선이 점 P에서 만나고, PA∘PB = PC∘PD이면 네 점은 한 원 위에 있다.(정리 33의 역)